CG算法的预处理技术：、为什么要对A进行预处理：其收敛速度依赖于对称正定阵A的特征值分布特征值如何影响收敛性：特征值分布在较小的范围内，从而加速CG的收敛性特征值和特征向量的定义是什么？（见笔记本以及收藏的网页）求解特征值和特征向量的方法：Davidson方法：Davidson 方法是用矩阵( D - θI)- 1( A - θI) 产生子空间，这里D 是A 的对角元所组成的对角矩阵。
θ是由Rayleigh-Ritz 过程所得到的A的近似特征值。
什么是子空间法：Krylov子空间叠代法是用来求解形如Ax=b 的方程，A是一个n*n 的矩阵，当n充分大时，直接计算变得非常困难，而Krylov方法则巧妙地将其变为Kxi+1=Kxi+b-Axi 的迭代形式来求解。
这里的K(来源于作者俄国人Nikolai Krylov姓氏的首字母)是一个构造出来的接近于A的矩阵，而迭代形式的算法的妙处在于，它将复杂问题化简为阶段性的易于计算的子步骤。
如何取正定矩阵Mk为：Span是什么？:设x_(1,)...,x_m∈V ,称它们的线性组合∑_(i=1)^m?〖k_i x_i \|k_i∈K,i=1,2...m〗为向量x_(1,)...,x_m的生成子空间，也称为由x_(1,)...,x_m张成的子空间。
记为L（x_(1,)...,x_m），也可以记为Span（x_(1,)...,x_m）什么是Jacobi迭代法：什么是G_S迭代法：请见PPT《迭代法求解线性方程组》什么是SOR迭代法：什么是收敛速度：什么是可约矩阵与不可约矩阵？：不可约矩阵（irreducible matrix）和可约矩阵（reducible matrix）两个相对的概念。
定义1：对于n 阶方阵A 而言，如果存在一个排列阵P 使得P'AP 为一个分块上三角阵，我们就称矩阵A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。
定义2：对于n 阶方阵A=(aij) 而言，如果指标集{1，2，...，n} 能够被划分成两个不相交的非空指标集J 和K，使得对任意的j∈J 和任意的k∈K 都有ajk=0, 则称矩阵 A 是可约的；否则称矩阵A 是不可约的。
n阶方矩阵A是不可约的当且仅当与矩阵A对应的有向图是强连通的。
什么是正交？：在三维向量空间中，两个向量的内积如果是零，那么就说这两个向量是正交的。
换句话说，两个向量正交意味着它们是相互垂直的。
若向量α与β正交，则记为α⊥β。
什么是正交矩阵？：如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示"矩阵A的转置矩阵"。
）或A'A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件:1) AT是正交矩阵2)（E为单位矩阵）3) A的各行是单位向量且两两正交4) A的各列是单位向量且两两正交5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R6) |A| = 1或-1倒着写的A和E都是什么意思啊？：反着的E:谓词逻辑存在量词? x: P(x) 意味着有至少一个x 使P(x) 为真。
n ∈N: n 是偶数。
倒着的A:任意的∧逻辑合取陈述A ∧ B 为真，如果A 与B 二者都为真；否则为假。
n < 4 ∧n >2 ? n = 3 当n 是自然数的时候。
与命题逻辑∨逻辑析取陈述 A ∨ B 为真，如果 A 或 B (或二者)为真；如果二者都为假，则陈述为假。
n ≥4 ∨n ≤2 ? n ≠ 3 当n 是自然数的时候。
迭代法与直接法比较优劣是什么？：对称正定的定义是什么？：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z'Mz> 0，其中z' 表示z的转置，就称M正定矩阵。
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正。
迭代法求解稀疏矩阵时是否有填充元问题？：CG法求解线性矩阵时有无误差问题？：有。
误差可能导致收敛变慢甚至无法求解。
什么是Krylov子空间法？：设要求解线性代数方程组Ax=b，取，其中，且为初始解，从中寻找近似解，使相应的残向量与另某个子空间正交，即则称为Krylov子空间，且上述方法称为Krylov子空间方法。
GMRES方法的缺点是什么？：因为它实际上求式AZ=r的解等价在在Krylov子空间中极小化残余向量的||.||范数。
但GMRES 会有失去超线性收敛性、可能产生停滞、GMRES 每迭代一步都要进行Arnoldi过程中都要消耗大量的计算时间、随着子空间维数的增大，引起存储空间过多的需求，每次迭代正交化过程所需代价显著增长等缺点。
矩阵右上角有个H，这是什么矩阵呢？（有个T是转置，有个H是什么）:一般来讲A^T表示转置，A^H表示转置共轭，对实矩阵而言是一回事，对复矩阵而言转置共轭比单纯的转置更常用一些，比如酉变换、Hermite型等。
什么是正交投影法和斜投影法？：从n维向量空间中找出一个子空间，从其中寻找近似解，子空间常称为搜索空间。
如果，则为在中求出一个近似解，显然要有个闲置条件，通常采用个正交性条件，特别地，可以采用残向量与个线性无关向量正交的条件，这个线性无关向量就定义了另外一个维子空间，通常称之为限制子空间或左子空间，同时称该限制条件为Petrov-Galerkin条件。
当时，称对应的投影法为斜交投影法，否则称为正交投影法。
什么是Hessenberg矩阵？：假设一个N*N矩阵A，在i>j+1时，它的a（i,j）=0。
（A的i,j 项=0），那么这个矩阵A就叫做HESSENBERG MATRIX。
常用范数有哪些？：这里以Cn空间为例，Rn空间类似。
最常用的范数就是p-范数。
若，那么可以验证p-范数确实满足范数的定义。
其中三角不等式的证明不是平凡的，这个结论通常称为闵可夫斯基(Minkowski）不等式。
当p取1，2，∞的时候分别是以下几种最简单的情形：1-范数：║x║1=│x1│+│x2│+...+│xn│2-范数：║x║2=（│x1│2+│x2│2+...+│xn│2）1/2∞-范数：║x║∞=max（│x1│，│x2│，...，│xn│）共轭梯度法的原理是什么？：请见PPT《共轭梯度法》自己理解的预条件技术？：对线性方程组AX=b，对A进行一些变换，例如LAL-1，使LAL-1的特征值变得相对集中，提高投影算法（CG，PCG）的收敛性。
对A进行的变化就称为预条件技术。
什么是Petrov-Galerkin条件？：预条件技术有几种？：有五种（1）对角预处理法：若A是严格对角占优的矩阵，则可以选择M=diag（a11，a22，...ann）,可以通过初等矩阵变换，将A变换成M矩阵的形式。
（2）基于经典迭代的预处理方法（矩阵分裂法）：Jacobi，GS，Sor（3）多项式预处理方法：选择一个多项式s（x）预处理矩阵选择为M-1=s(A)，具体做法如下：将预处理矩阵取为一个低次的矩阵多项式M-1=s(A)，原方程变为：s(A)Ax=s(A)b，然后用迭代法求解。
（见张兰的论文）（4）无填充不完全分解预处理法：以系数矩阵的因子分解为基础得到的预处理，这是一种比较有效的预处理方程，主要有不完全LU分解，不完全Cholesky分解以及相应的块不完全分解等。
（5）子结构、区域分裂、EBE预处理途径（见张永杰论文）。
什么是左预条件？：如果将迭代方法应用于M-1Ax=M-1b,则称之为左预条件技术什么是右预条件？：如果将迭代方法应用于AM-1z=b，再通过Mx=z，求出解x，则称之为右预条件技术。
什么是cond（）？：Cond(A)称作矩阵A的条件数，为矩阵A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
cond(A)=‖A‖·‖A-1‖。
从线性代数的分析可知，矩阵的条件数总是大于1.正交矩阵的条件数等于1，奇异矩阵的条件数为无穷大，而病态矩阵的条件数则为比较大的数据。
什么是线性无关？：向量v1, v2, ..., vn线性无关，当且仅当它们满足以下条件：如果a1, a2, ..., an是K的元素，适合：a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0，那么对所有i = 1, 2, ..., n都有ai = 0。
什么是hermite矩阵即厄米特矩阵？：厄米特矩阵（Hermitian Conjugate Matrix，又译作"埃尔米特矩阵"或"厄米矩阵"），指的是自共轭矩阵。
矩阵中每一个第i行第j 列的元素都与第j 行第i列的元素的共轭相等。
对称矩阵是hermite矩阵的特例。
如果判断线性方程组是病态？：一般当det（A）的绝对值很小时，方程组Ax=b就可能是病态。
为什么预处理方法备受关注？：对不同的矩阵情况，有不同的预处理方案，没有一种通用的预处理方案，于是出现了很多种预处理方法。
预处理矩阵与迭代矩阵是什么关系？：M为预条件矩阵，G为迭代矩阵。
有G=M-1N。
什么是表征矩阵性态的条件数？：系数矩阵的最大特征值和最小特征值之比。
为什么PCG算法强于CG算法？：虽然共轭梯度法在理论上最多n次迭代就可以达到精度解，但由于舍入误差的存在和矩阵A的一些病态特性，使{p1，p2，。
，pk}A正交性以及{r1, r2, ...,rk }的正交性随着k增加而变差。
故xn一般不是精确解，而且降低了收敛的速度。
何况对于大型和超大型的线性方程组，即使n次迭代收敛，也是实际计算中不能接受的。
于是出现了PCG，它通过适当的预处理方法引入预处理矩阵M，使矩阵的特征值分布更为集中，降低矩阵条件数，改善矩阵病态特性，已达到提高收敛速度的目的。
矩阵谱半径定义？: 设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,...,n.称ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,......n}为A的谱半径。
共轭梯度法的推导？：（1）采用泛函多项式的推导过程请见：网页《共轭梯度法》。
（2）用矩阵知识进行推导的过程请见：张永杰的论文p34页。
什么是BEM（边界元方法）？：边界元法（boundary element method）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。
所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。
但用边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性，使求解遇到困难。
什么是引理？：引理（lemma）是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题，其意义并不在于自身被证明，而在于为达成最终目的作出贡献。
一个引理可用于证明多个结论。