pai 定理 工程流体力学例题
例 1 开口容器内盛有液体，容器下部壁面有孔通大气。

显然在孔的不同高度上流出的速度也不同。

试计算通过此孔的流量Q 。

设自由面高度不变，不计摩擦，几何尺寸如图（4.13）所示。

解 出口面上的任一微面 dh b ⨯上的速度可以利用连续方程及动量方程求得
gh 2e
=V
式中h 为此微元面距自由面的高度。

出口体积流量为
})()2
{(2322b 2/32/32
/2/2/12
/2
/d H d
H g b dh h g b Vdh Q d H d H d H d H --+===⎰
⎰
+-+-
2
a e g p p H ρ+= 例2大容器有背压的小孔流出。

开口容器内盛有液体，容器下部有小孔，小孔与另一盛有液体的容器通，如图（4.14）所示。

两容器中自由液面高度分别为1H ,2H ,压力位a p ，设不计摩擦,1H ,2H 为常数，试求小孔流出速度。

解 小孔出口压力
（a ）
在S A 面与e A 面之间应用伯努利方程
（b ）
利用（a ）、（b ），并注意到e
V V S <<，可得到出口速度公式
)g 221e H H V -=（
例3 文丘里管流量计
为了测量管道中的流量，可以将收缩—扩张管接到管道中去。

如图（4.15）所示。

通过测量颈部及来流段的压力差以确定流体的平均速度。

为了测量这个压力差，可以利用U 型管测压器。

试建立颈部
g
2g p 0g 2g p 2
e
e 2
a 1V
V H S ++=+=ρρ
)
1)(()(
)g
-
g
12121211
2
2
z p z p ρ
ρ
ρρρρ，
，
（）（
-
-=---=++l l l l l l 2/1,
1221
2
222)]1)(()/-1g
2[(ρ
ρ---=
=
l l A A A V A Q 2/1,
1221
22)]1)(()/(-1g 2[A ρρ---=l l A V 流速与U 型管中液面高度差的关系。

解 对1—1，2—2截面利用连续方程与伯努利方程
1
2
21A A V V = (a)
z p
V z p V g
g
g g 22
2
2
1
1
21
22++
=++ρρ
(b)
由此两式可得 )()(2)/(122112
122
2
z p z p A A V g
g g +-+=-ρρ
（c ） 由此可见，只要能测出p p 1
2-
就可完全确定V
2。

再用静力学的关系式分析U 型管中各截面上的压力关系。

p
l z l l l g g 2
2212,
111
)()()g(z p
=
-----+ρρρ
由此可得
代入式（c ）可得
管流流量Q 为
例4。