第2章质点动力学2.1 牛顿运动定律一、牛顿第一定律任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使它改 变这种状态为止。

二、牛顿第二定律物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比, 方向与合外力的方向相同。

表示为f ma说明:⑵在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式f x ma *， f y ma y ， f z ma z 。

⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式f t ma t f n ma n⑷ 动量：物体质量m 与运动速度v 的乘积，用p 表示。

p mv动量是矢量，方向与速度方向相同。

由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成dv m 一 dt 当 f 0时，r 0，dp 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。

此结 论成为质点动量守恒定律三、 牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同 一直线上。

物体同时受几个力f i ,f 2f n 的作用时，合力f 等于这些力的矢量和f n力的叠加原理d pdtf ma说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。

四、国际单位制量纲基本量与基本单位导出量与导出单位五、常见的力力是物体之间的相互作用。

力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。

按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。

六、牛顿运动定律的应用用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：隔离物体，受力分析。

建立坐标，列方程。

求解方程。

当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。

例题例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物体通过滑轮相连，已知叶3kg, m2 2kg，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求每一物体的加速度a及绳子的张力F T（重力加速度g取9.80m • s 2）。

解分别取叶和m2为研究对象，受力分析如上图。

利用牛顿第二定律列方程:「m2g F TYL F T m1gsi n30o m1a绳子张力F T F T代入数据解方程组得加速度a 0.98m • s 2，张力F T 17.64N。

例2-2如图所示，长度为I的柔软细绳一端固定于天花板上的0点，另一端拴一个质量为m的小球。

先使绳保持水平，小球静止，然后小球自由下落。

求小球的速率和绳的张力解：v l ddt牛顿方程的切向和法向分量式mgcosma t m-dv （切向） T mg sin ma n m — （法向）dtl把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以Id 「dt 和v ,即 gcos •厶也• v dt dt 约去 dt 得 gl cos d vdvv1 2gl o COsdo vdv ，glsin-V得小球的速率为 v .. 2gl sin代入牛顿方程的法向分量式，得绳的张力可看出，当 2时，即小球运动到最低点时绳子的张力最大。

例2-3质量为m 的小球在水中由静止开始下沉，设水对小球的粘滞阻力与其运 动速率成正比，即f kv ，其中k 为比例常数，水对小球的浮力为 B 求小球在 水中任一时刻的沉降速度（设t =0时，v =0）。

mg对上式积分，注意角度从0增大到的同时，速率从0增大到V ，有2T m — mg sin3mgsin解、小球受重力P 、粘滞力f 及水的浮力B 的作用，取竖直向下为坐标轴正方向 如图所示，根据牛顿第二定律得P f B ma两边取定积分2. 2 动量和动量守恒定律一、质点和质点系的动量定理1 .冲量和质点动量变化定理 冲量：力的时间累积，即力对时间的积分，称为力的 冲量t2fdtt 1质点动量变化定理根据牛顿第二定律，上式可写为d I fdt d p表明，在dt 时间内质点所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增量。

将上式从t 1到t 2对时间积分，得表明，质点在一段时间内所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的mg kv Bmadv m — dtdv dtmg kv B mvdv tdtkv B[In (mg kv B) ln(mg B)] k由此求得：k mg B (1m t )v(1 e m)k时，vmg B k•小球的终极速度，匀速下降P 2P 1dP P 2P 1omg t 1 fdt增量。

称为质点动量变化定理 应用质点动量变化定理的实例在一些过程中（如碰撞），作用力随时间急剧变化，引入平均力的概念2 •质点系的动量定理由若干个相互作用的质点组成的系统，称为质点系t2 -fdtt it 2 t 1t 2 t 1P 2 P it 2 t 1例 质量为m 3000 kg 的重锤，从高度h1.5m 处自由落下，打击被锻压的工件后弹起的高度h 2 0.1m 。

设作用时间t0.01s ，求重锤对工件的平均冲击力。

解：设竖直向上为正方向。

重锤与工件刚接触时的速度，等于从 h 11.5m 处自由落下的末速度V 12gh!重锤与工件作用t 0.01s 后，弹起的速度等于竖直上抛h 2 0.1m 高度的初速 度。

V 2gh 2以f 代表在t 时间内工件对 重锤的平均反冲力，按动量变化定 理（f mg ） t mv 2 mv 1f mg （ 2 山「1）\g t 重锤对工件的平均冲力重锤 0? ---------- 工件mg33 109.8 (9.80.011)62.1 10 N21.5是成对出现，所以质点系内所有内力的矢量和一定等于零。

即外力：质点系以外的物体或场（如重力场）对系统内质点的作用力，叫做外 力。

F 外=质点系的动量质点系内所有质点的动量的矢量和称为该质点系的动量，用质点系中外力与动量的关系 根据牛顿第二定律又•••F 外=□ dt内力与外力内力：质点系内各质点之间的作用力叫内力。

图中 根据牛顿第三定律，由于它们大小相等方向相反，所以对内力 f ij f ji 0。

由于内力总]q”f ij f 12 f 21 i,j(i j)f 23 f 320 这是内力一个重要性质。

f lP 来表示。

madv m 一 dtp mvdp dtf j 和f ji 就是质点系动量变化定理把上式写成 F 外dt dp 并从t |到t 2对时间积分，得t 2 p2 L ■ ■t F 外 dt= p dpp i p it1p1系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量——质点系动量变化定理 说明：内力可以改变质点系内各质点的动量，但对系统的总动量没有影响。

例2-6如图，一辆拉煤车以速率v 3 m • s 1从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢 内的煤为500kg 。

若使车厢的速率不变，应用多大的牵引力拉车厢（忽略车厢与 x解：用m 代表在t 时刻已落入 车厢内的煤和车厢的总质量。

经过dt 时间又有质量为dm 的煤落入车厢中 取m 和dm 作为质点系。

取车厢行驶的方向作为正方向系统在t 时刻的动量为 mv 系统在t dt 时刻的动量为 （m dm ）v在dt 时间内系统动量的增量dP （m dm ）v mv按照质点系动量变化定理，注意到车厢速率不变，有dP dmFv 一dt dt把v 3m • s 1和dm dt 500kg • s 1代入上式得:F 3 500 1.5 103N轨道之间的摩擦力）二、动量守恒定律若质点系所受外力为零，F 外=0,则表明在惯性系中，当质点系不受外力作用或所受外力合力等于零时，质点系的动 量大小和方向都保持不变 动量守恒定律。

应用动量守恒定律时要注意：（1 ）合外力是指系统所受外力的矢量和。

（2） 若合外力的矢量和不为零，但外力沿某一方向的分量为零，则该方向上质 点系的动量守恒。

（3） 在诸如碰撞、爆炸等问题中，由于冲击力很大、作用时间很短，此时一般 的外力（如重力）可以忽略。

（4）动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的定律之一，不仅适用于宏观物体, 也适用于原子、分子、光子等微观粒子间的相互作用。

例 如图，一颗质量为m 的子弹以速度v 沿水平方向射入一个用细绳悬挂的质量 为M 的物体，并留在物体中。

设子弹从射入物体到停在其中的时间极短，求子 弹刚停在物体中时的速度m mv (m M )V ， Vvm M时，V 0dP dtP 常矢量解：取子弹和物体为质点系。

系统不受外力作用，系统在水平 方向上动量守恒。

设子弹刚停在物体内时的速 度为V 。

水平向右为坐标轴正向[m* V2. 3功、机械能和机械能守恒定律一、功和功率1. 功初中时功的计算：W FS 恒力的方向与物体运动方向相同。

高中时功的计算：W FScos恒力与物体运动方向成 夹角。

（1）功的定义：作用于物体的力在物体位移方向上的分量与该位移的乘积 称为功。

（2）元功：作用在质点上的力一般与质点的位置有关（如抛体运动中，质点所平均功率：W P - t瞬时功率：当t 0时，平均功率的极限值即为t 时刻的瞬时功率，简称功率。

由于dW f ?dr 。

上式可写为受的重力与质点的位置）。

在质点作无穷小位移dr （元位移） 的过程中，可以认为力f 的大小和方向 都不发生变化。

把f 和dr 的标量积称为力f 对质点 做的元功，用dW 表示〉dW f ?dr f dr cos ⑶功的计算：bW f ?dra （L ）式中f t 为切向分量， 2.功率力在单位时间内所做的功，称为功率b -f cos dra(L)ba(L) f t dSds 是与dl 对应的路程W limTdWdtf ?drdtf ?v fvcos瞬时功率等于力在速度方向的投影和速度大小的乘积，或说瞬时功率等于力矢量与速度矢量的标积3 .常见力的功①重力的功质量为m的物体在地球表面附近（重力加速度g不变）从a经c运动到b,重力对物体所做的元功dW F?ds mgj?(dxi dyj) mgdy物体从a—c—b，重力的功ybW ya mgdy (mgy b mgy a)ya若物体从a—d—b,重力的功仍然是上述结果。

可见，，重力的功与路径无关只与始末位置有关。

②弹力的功弹性系数为k的轻质弹簧水平放置，一端固定，一端系一小球，以平衡位置为原点。

小球在任一位置受到弹力F kxi对位移dx的元功为dW F ?dx kxi ?dxi kxdxb dW kxdxa (-kx b2丄kx；)2 2X结论：弹力的功只与始末位置有关，与路径无关③保守力某些力(重力、弹力、万有引力、静电力、分子力等)，他们对物体做的功与路径无关，只由物体的始末位置所决定。

若物体沿任一闭合路径运动一周，这些力做功为零，这类力称为保守力。

摩擦力等做的功与路径有关，称为非保守力或耗散力。

二、动能和质点的动能定理1•动能和质点动能定理质点的动能表达式：E k - mv22质点的动能定理若把f看成是作用在质点上的合力，则牛顿方程的切向分量式为f t dv m一dt由于v dsdt所以有b b dv b 1 2 1 2W“、f t ds m ds m vdv mv b mv aa(L)a(L)dt a(L)22用E k丄mv?代表动能，则有2W E kb E ka即合力对质点所做的功等于质点动能的增量，称为质点动能变化定理。