2020中考数学 几何综合探究 专题练习例题1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5075135AB DC AD BC ====，，，点P 从点B 出发沿折线段BA AD DC --以每秒5个单位长度的速度向点C 匀速运动，点Q 从点C 出发沿线段CB 方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动，过点Q 向上作射线QK BC ⊥，交折线段CD DA AB --于点E ，点P 、Q 同时开始运动，当点P 与点C 重合时停止运动，点Q 也随之停止，设点P 、Q 运动的时间是t 秒()0t >（1）当点P 到达终点C 时，求t 的值，并指出此时BQ 的长；（2）当点P 运动到AD 上时，t 为何值能使PQ DC ∥?（3）设射线QK 扫过梯形ABCD 的面积为S ，分别求出点E 运动到CD DA ，上时，S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）【答案】⑴507550355t ++==()s 时，点P 到达终点C ， 此时，353105QC =⨯=，所以BQ 的长为 13510530-=．⑵如图1，若PQ DC ∥，又AD BC ∥，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD QC =, 由35QC t BA AP t =+=，得507553t t +-=，解得1258t =，经检验：当1258t =时，有PQ DC ∥．⑶①当点E 在CD 上运动时，如图2，分别过点A 、D 作AF BC ⊥于点F ，DH BC ⊥于点H ， 则四边形ADHF 为矩形，且ABF DCH △≌△，从而75FH AD ==，于是30BF CH ==，∴40DH AF ==．又3QC t =，从而tan 34DHQE QC C t t CH=⋅=⋅=（注：用相似三角形求解亦可）∴2162QCE S S QE QC t ==⋅=△．②当点E 在DA 上运动时，如图1，过点D 作DH BC ⊥于点H ， 由①知4030DH CH ==，，又3QC t =，从而330ED QH QC CH t ==-=-∴()11206002QCDE S S ED QC DH t ==+=-梯形．例题2.如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC CD ，上的点，413CE CF ==，，直线EF 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H 作HM AG ⊥，HN AD ⊥，垂足分别为M N ，，设HM x =，C图1C图2矩形AMHN 的面积为y（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积为多少？【答案】（1）∵正方形ABCD 的边长为4，413CE CF ==，， ∴3BE =又AG CF FEC GEB ∥，△∽△，4CF CEBG BG BE==， 又HM BE ∥∴HMG EBG △∽△，MG HMBG BE=∴44833MG x AM x ==-，∴()244880433y x x x x x ⎛⎫=-=-+<≤ ⎪⎝⎭（2）∵()2244831233y x x x =-+=--+∴当3x =时，矩形面积最大，最大面积为12例题3.如图，在平面直角坐标系中，点)0A，()2B ，()02C ，，动点D 以每秒1个单位的速度从点O 出发沿OC 向终点C 运动，同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动，过点E 作EF AB ⊥交BC 于点F ，连结OA 、OF ，设运动时间为t 秒． （1）求ABC ∠的度数；（2）当t 为何值时，AB DF ∥； （3）设四边形AEFD 的面积为S ， ①求S 关于t 的函数关系式；②若一抛物线2y x mx =+经过动点E，当S <m 的取值范围．【答案】（1）过点B 作BM x ⊥轴于点M∵()()022C B ，，，∴BC OA ∥，∴ABC BAM ∠=∠，∵2BM AM ==，∴tan 30BAM ABC BAM ∠=∠=∠=︒． （2）∵AB DF ∥，∴30CFD CBA ∠=∠=︒， 在直角三角形DCF 中，230CD t CFD =-∠=︒，，∴)2CF t =-，∵4AB =，∴4230BE t FBE =-∠=︒，，∴242t BF -=，N MH GFEDC BAB)2422tt--+=∴57t=．（3）①解法一：过点E作EG x⊥轴于点G，则EG t=，OG=，∴)E t，，∴DE x∥轴，1112222DEF DEAS S S DE CD DE OD=+=⨯+⨯=⨯=△△解法二：∵BF=，∴CF==，∴ODA BFE CDFOABCS S S S S=---△△△梯形)())224142t t t=-+-=+，②当S<∴1t<，因为0t>，所以01t<<m<例题4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A B，的坐标分别为()()4043，，，，动点M N，分别从点O B，同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC 向终点C运动，过点N作NP BC⊥，交AC于点P，连结MP，当两动点运动了t秒时．（1）P点的坐标为（，）（用含t的代数式表示）．（2）记MPA∆的面积为S，求S与t的函数关系式(04)t<<．（3）当t=秒时，S有最大值，最大值是．（4）若点Q在y轴上，当S有最大值且QAN∆为等腰三角形时，求直线AQ的解析式．【答案】（1）344t t-，（2）在MPA∆中，4MA t=-，MA边上的高为34t∴()13424MPAS S t t∆==-⋅，即()2330482S t t t=-+<<（3）322，（4）由⑶知，当S有最大值时，2t=，此时N在BC的中点处，如图1．设()Q y，，则222224AQ OA OQ y=+=+()2222223QN CN CQ y=+=+-，2222232AN AB BN=+=+．∵QAN∆为等腰三角形，①若AQ AN=，则2222432y+=+，此时方程无解．②若AQ QN =，即222242(3)y y +=+-，解得12y =-．③若QN AN =，即22222(3)32y +-=+，解得1206y y ==，．∴1102Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-，2(00)Q ，，3(06)Q ，． 当Q 为102⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，设直线AQ 的解析式为12y kx =-，将()40A ，代入，得1402k -=，解得18k =．∴直线AQ 的解析式为1182y x =-．当Q 为()00，时，()40A ，，()00Q ，均在x 轴上，∴直线AQ 的解析式为0y =（或直线为x 轴）．当Q 为()06，时，Q N A ，，在同一直线上，ANQ ∆不存在，舍去．故直线AQ 的解析式为1182y x =-，或0y =．例题5. ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，2cm AC =．长为1cm 的线段MN 在ABC ∆的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P ，Q 两点，线段MN 运动的时间为ts ．（1）若AMP ∆的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）；（2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时的值；若不可能，说明理由；（3）t 为何值时，以C ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC ∆相似？【解析】⑴当点P 在AC 上时，∵AM t =，∴tg60PM AM =⋅︒=．∴()21012y t t =≤≤．当点P 在BC上时，)tan 304PM BM t =⋅︒=-．)()214132y t t t =-=+≤≤． ⑵∵2AC =，∴4AB =．∴413BN AB AM MN t t =--=--=-．∴)tan303QN BN t =⋅︒=-．由条件知，若四边形MNQP 为矩形，需PM QN =)3t =-，∴34t =．∴当34t s =时，四边形MNQP 为矩形．⑶由⑵知，当34t s =时，四边形MNQP 为矩形，此时PQ AB ∥，∴PQC ABC ∆∆∽．t N M QPBA C除此之外，当30CPQ B ∠=∠=︒时，QPC ABC ∆∆∽，此时tan 30CQ CP =︒=∵1cos60AM AP =︒=，∴22AP AM t ==．∴22CP t =-． ∵cos30BN BQ =︒=，∴)3BQ t ==-．又∵BC =∴)3CQ t =-=∵322t =-，12t =．∴当12t s =或34s 时，以C PQ ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似． 【答案】（1）)()214132y t t t =-≤≤ （2）当34t s =时，四边形MNQP 为矩形（3）当12t s =或34s 时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC ∆相似例题6. 如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒．⑴ 若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；⑵ 若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；⑶ 若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；⑷ 是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由．【答案】⑴ 34PM =， ⑵ 2t =，使PNB PAD △∽△，相似比为3:2 ⑶ ∵PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠⊥，⊥，，AMP ABC △∽△，∴PM AM BN AB =即PM a t t a -=，∵()t a t PM a-=， ∵(1)3t a QM a-=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，即()()22QP AD DQ MP BN BM++=P N NMQDC BAQPMDCBA()33(1)()22t a t t a a t t t a a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+， ∵3t ≤，∴636aa+≤，则6a ≤，∴36a <≤，⑷ ∵36a <≤时，梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可，则CN PM = ∴()3t a t t a -=-，把66a t a=+代入，解之得a =±a =． 所以，存在a，当a =PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等．例题7. 如图，在矩形ABCD 中，20cm BC =，P ，Q ，M ，N 分别从A 、B 、C 、D 出发沿AD BC CB DA，，，方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若()cm 0BQ x x =≠，2cm AP x =，3cm CM x =，2cm DN x =．⑴ 当x 为何值时，以PQ MN ，为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形 ⑵ 当x 为何值时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形；⑶ 以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．【解析】⑴ 当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形．当点P 与点N 重合时，由2220x x +=，得1211x x ==，（舍去）∵)34120BQ CM x x +=+=<，∴此时点Q 与点M 不重合，∴1x =符合题意．当点Q 与点M 重合时，由320x x +=，得5x =，此时22520DN x ==>不符合题意，故点Q 与点M 不能重合，∴1x =-．⑵ 由⑴知，点Q 只能在点M 的左侧，当点P 在点N 的左侧时，由()()2203202x x x x -+=-+得1202x x ==，，舍去1x ， 当2x =时，四边形PQMN 是平行四边形；当点P 在点N 的右侧时，由()()2203220x x x x -+=+-得12104x x =-=，，舍去1x ，当4x =时，四边形NQMP 是平行四边形．∴当2x =或者4x =时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形 ⑶ 过点Q M ，分别作AD 的垂线，垂足分别为点E F ，．由于2x x >，∴点E 一定在点P 的左侧，若以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点F 一定在点N 的右侧，且PE NF =，即223x x x x -=-， ∴1204x x ==，，可知当0x =时不成立．由于当4x =时，以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形， ∴以P 、Q 、M 、N 为顶点的四边形不能是等腰梯形．ABDCPMN【答案】见解析例题8. 正方形ABCD 的边长为2，E 是射线CD 上的动点（不与点D 重合），直线AE 交直线BC 于点G ，BAE ∠的平分线交射线BC 于点O ．⑴ 如图，当23CE =时，求线段BG 的长；⑵ 当点O 在线段BC 上时，设CEx ED=，BO y =，求y 关于x 的函数解析式；⑶ 当2CE ED =时，求线段BO 的长．【解析】⑴ 在边长为2的正方形ABCD 中，23CE =，得43DE =，又∵AD BC ∥，即AD CG ∥，∴12CG CE AD DE ==，得1CG =∵2BC =，∴3BG =．⑵ 当点O 在线段BC 上时，过点O 作OF AG ⊥，垂足为点F∵AO 为BAE ∠的角平分线，90ABO ∠=︒，∴OF BO y ==在正方形ABCD 中，AD BC ∥，∴CG CEx AD ED==∵2AD =，∴2CG x =又∵CE x ED =，2CE ED +=，得21x CE x=+． 在Rt ABG ∆中，2AB =，22BG x =+，90B ∠=︒，∴AG = ∵2AF AB ==∴2FG AG AF =-=，∵OF AB FG BG =，即AB y FG BG=⋅，得y =()0x ≥．⑶ 当2CE ED =时①当点O 在线段BC 上时，即2x =，由⑵得OB y ==②当点O 在线段BC 延长线上时4CE =，2ED DC ==，在Rt ADE ∆中，AE =设AO 交线段DC 于点H ，∵AO 是BAE ∠的平分线，即BAH HAE ∠=∠ 又∵AB CD ∥，∴BAH AHE ∠=∠．∴HAE AHE ∠=∠∴EH AE ==．∴4CH =-∵AB CD ∥ ∴CH CO AB BO=2BO BO -=，得2BO =+． 【答案】见解析例题9. 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，7AB =，1CD =，5AD BC ==．点M N ，分别在边AD BC ，上运动，并保持MN AB ∥，ME AB ⊥，NF AB ⊥，垂足分别为E F ，．GOED CB A（1）求梯形ABCD 的面积；（2）求四边形MEFN 面积的最大值． （3）试判断四边形MEFN 能否为正方形.若能，求出正方形MEFN 的面积；若不能，请说明理由．【解析】（1）分别过D C ，两点作DG AB ⊥于点G ，CH AB ⊥于点H ．∵AB CD ∥，∴DG CH DG CH =，∥． ∴ 四边形DGHC 为矩形，1GH CD ==． ∵90DG CH AD BC AGD BHC ==∠=∠=o ，，， ∴()Rt AGD Rt BHC HL ∆∆≌．∴71322AB GH AG BH --====． ∵ 在Rt AGD ∆中，35AG AD ==，， ∴4DG =．∴()174162ABCD S +⨯==梯形．（2）∵MN AB ∥，ME AB ⊥，NF AB ⊥，∴ME NF =，ME NF ∥． ∴四边形MEFN 为矩形． ∵AB CD ∥，AD BC =， ∴A B ∠=∠．∵ME NF =，90MEA NFB ∠=∠=o ， ∴()MEA NFB AAS ∆∆≌．∴AE BF =．设AE x =，则72EF x =-． 易证MEA DGA ∆∆∽． ∴AE ME AG DG =，则43ME x =． ∴()248749723346MEFN S ME EF x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=--+ ⎪⎝⎭矩形．当74x =时，743ME =<，∴四边形MEFN 面积的最大值为496．（3）四边形MEFN 可以为正方形．由（2）可知，设AE x =，则72EF x =-，43ME x =．若四边形MEFN 为正方形，则ME EF =． 即4723x x =-，解得2110x =． ∴211472724105EF x =-=-⨯=<．NMFE D C B A∴ 四边形MEFN 能为正方形，其面积为214196525MEFNS ⎛⎫== ⎪⎝⎭正方形．【答案】见解析例题10. 如图，在Rt ABC ∆中，90A ∠=o ，AB AC =，BC =DEFG （GF DE ∥）的底边DE 与BC 重合，两腰分别落在AB AC ，上，且G F ，分别是AB AC ，的中点．⑴ 求等腰梯形DEFG 的面积；⑵ 操作：固定ABC ∆，将等腰梯形DEFG 以每秒1个单位的速度沿BC 方向向右运动，直到点D 与点C 重合时停止．设运动时间为x 秒，运动后的等腰梯形为DEF G ''（如图）． 探究1：在运动过程中，四边形BDG G '能否是菱形？若能，请求出此时x 的值；若不能，请说明理由． 探究2：设在运动过程中ABC ∆与等腰梯形DEFG 重叠部分的面积为y ，求y 与的函数关系式．【解析】⑴ 如图6，过点G 作GM BC ⊥于M ．∵90AB AC BAC BC =∠=︒=，，G 为AB 中点∴GM =又∵G F ，分别为AB AC ，的中点∴12GF BC ==∴(162DEFG S =梯形∴等腰梯形DEFG 的面积为6. ⑵ 四边形DBG G ′能为菱形.如图7，由BG DG '∥，GG BC '∥ ∴四边形BDG G '是平行四边形 当122BD BG AB ===时，四边形BDG G '为菱形，此时可求得2x =∴2x =秒时，四边形BDG G '为菱形.FGC(E)(D)B AMC(E)FG(D)B AG'F'CEDFGBAMG'F'CED F GB AG'F'C ED F GQBA⑶ 分两种情况： ①当0x <≤时，∵GM =∴BDG G S '=n 平行四形 ∴重叠部分的面积为6y =∴当0x <≤时，y 与x的函数关系式为6y =②当x ≤设FC 与DG '交于点P ，则45PDC PCD ∠=∠=︒ ∴90CPD PC PD ∠=︒=，作PQ DC ⊥于Q，则()12PQ DQ QC x ===∴重叠部分的面积为：()()()2111224y x x x =⨯=【答案】见解析例题11. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE AG ⊥于点E ，BF AG ⊥于点F .⑴ 求证：DE BF EF -=．⑵ 当点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系， 并说明理由．⑶ 若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图2中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．【解析】⑴ ∵四边形ABCD 是正方形，BF AG ⊥，DE AG ⊥ ∴DA AB =，90BAF DAE DAE ADE ∠+∠=∠+∠=︒∴BAF ADE ∠=∠，∴ABF DAE ∆∆≌，∴BF AE =，AF DE = ∴DE BF AF AE EF -=-= ⑵ 2EF FG =，理由如下：∵AB BC ⊥，BF AG ⊥，2AB BG = ∴AFB BFG ABG ∆∆∆∽∽ ∴2AB AF BF BF BF FG=== ∴2AF BF =，2BF FG =由⑴知，AE BF =，∴2EF BF FG == ⑶ 如图DE BF EF += 【答案】见解析例题12. 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，90BCD ∠=︒，且1AB =，2BC =，tan 2ADC ∠=．图2图1ABCDG G FEDCB A ACDE F⑴ 求证：DC BC =；⑵ E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且EDC FBC ∠=∠，DE BF =， 当:1:2BE CE =，135BEC ∠=︒时，求sin BFE ∠的值．【解析】⑴ 过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M ，则ABCM 为矩形. ∴21AM BC MC AB ====，. ∵tan 2ADC ∠=，∴1DM =， ∴DC BC =. ⑵ ∵DE BF EDC FBC DC BC =∠=∠=，，， ∴DEC BFC ∆∆≌，∴CE CF ECD BCF =∠=∠，，∴90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴ECF ∆是等腰直角三角形．设BE k =，则2CE CF k ==，∴EF =． ∵135BEC ∠=︒，45CEF ∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∴3BF k =，∴1sin 33k BFE k ∠==．【答案】见解析例题13. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，点E F G ，，分别在AB BC CD ，，上， 且AE GF GC ==.（1）求证：四边形AEFG 是平行四边形；（2）当2FGC EFB ∠=∠时，求证：四边形AEFG 是矩形.【解析】（1）∵在梯形ABCD 中，AB DC =，∴B C ∠=∠． ∵GF GC =，∴C GFC ∠=∠． ∴B GFC ∠=∠，∴AB GF ∥，即AE GF ∥． ∵AE GF =，∴四边形AEFG 是平行四边形．（2）过点G 作GH FC ⊥，垂足为H ． ∵GF GC =，∴12FGH FGC ∠=∠．∵2FGC EFB ∠=∠， ∴FGH EFB ∠=∠．∵90FGH GFH ∠+∠=︒， ∴90EFB GFH ∠+∠=︒． ∴90EFG ∠=︒．∵四边形AEFG 是平行四边形，FEDCBAM ABDEFG CFE D BA G CHF E D BA∴四边形AEFG是矩形．【答案】见解析。