第15章 量子物理基础内容提要１．黑体辐射基本定律和普朗克量子假设黑体：能完全吸收入射辐射的物体，有最大的发射本领。

黑体辐射的两条实验规律：(1) 斯忒藩一玻尔兹曼定律：4)(T T M σ= 式中4281067.5---⋅⋅⨯=k m W σ称为斯忒藩一玻尔兹曼常数。

(2) 维思位移定律： b T m =λ式中k m b ⋅⨯=-310898.2,称为维恩常数，公式表明峰值波长λm 随温度升高向短波方向移动(3) 普朗克量子假设黑体是由带电谐振子组成，这些谐振子辐射电磁波并和周围的电磁场交换能量；谐振子的能量是最小能量νεh =的整数倍。

νεh =称为能量子，s J h ⋅⨯=-341063.6称为普朗克常量。

２.光电效应的实验规律实验发现，光电效应表现出四条规律：(1) 入射光的频率一定时，饱和光电流与光强成正比；(2) 光电子的最大初动能与入射光的频率成线性关系，与入射光的强度无关； (3) 光电效应存在一个红限0ν,如果入射光的频率0νν<，便不会产生光电效应 (4) 光电流与光照射几乎是同时发生的，延迟时间在10-9s 以下。

３．光量子假设与爱因斯坦方程(1) 爱因斯坦认为：光是由以光速运动的光量子组成，在频率为ν的光波中，光子的能量νεh =光子的静质量为零，动量为λhp =(2) 入射的光子被电子吸收使电子能量增加νh ，电子把一部分能量用于脱离金属表面时所需要的逸出功，另一部分为逸出电子的初动能。

即A mv h m +=221ν4.康普顿效应康普顿效应的实验规律(1) 散射线中除了和原波长0λ相同的谱线外，还有一种波长0λλ>。

(2) 波长差0λλλ-=∆随散射角θ的增大而增加。

其增加量为2sin 2200θλλλc m h =-=∆ (3) 0λλλ-=∆与散射物质无关，但散射光中原波长0λ的强度随散射物的原子序数增加而增大，而λ的光强则相对减小。

利用光量子理论对康普顿效应能给予很好的解释。

康普顿效应进一步证实了光的量子性。

４.光的波粒二象性光既具有波动性又具有粒子性。

光的波动性可以用波长λ和频率ν描述，光的粒子性可以光子的质量、能量和动量描述，其关系可以表示为：光子能量νεh = 光子动量 λhP =光子质量 2c h m ν=光子的静质量为零。

５．玻尔的氢原子理论(1) 氢原子光谱的实验规律实验发现，氢原子光谱系的波数可以写成)11(1~22nm R -==λν对应于不同的m 和n 值，可以得到不同的线系，如： m=1,n=2,3,4,……为赖曼系 m=２,n=3,4,……巴尔末系 m=３,n=4,５……帕邢系 (2) 玻尔的基本假设(a) 定态假设: 原子中的电子只能在一些半径不连续的轨道上作圆周运动。

在这些轨道上，电子虽作加速运动，但不辐射能量，因而处于稳定状态，称为定态。

(b) 轨道角动量量子化假设: 电子在定态轨道上运动时，其角动量只能取π2h的整数倍，即,3,2,1.2===n hnmvr L π(c) 频率条件假设: 电子从某一定态向另一定态跃迁时，将发射(或吸收)光子，其频率表示为m n E E h -=ν(3) 氢原子的轨道半径和能级,3,2,1.22021==n me h n r πεeV n n me E n 22220246.13132-=-= επ ６. 德布罗意假设德布罗意通过分析经典力学和光学的某些对应关系，提出了实物粒子具有波动性的假设。

他认为一切实物粒子都具有波动性。

对于静质量为、速度为v 的实物粒子，其波长为2201cv v m h p h -==λ７. 波函数描述微观粒子运动状态的函数),(t r ψ。

从统计的角度来讲，波函数模的平方代表着微观粒子在空间某点出现的概率，因此，波函数也称为概率波。

波函数遵从归一化条件，即1),(),(=⎰⎰⎰*dV t t Vr r ψψ波函数必须满足单值、有限、连续三个标准化条件。

８． 不确定关系由于微观粒子具有波动性，其位置和动量不能同时被精确确定。

其不确定量x ∆和xp ∆的乘积不小于某一常量，即2≥∆∆x p x 上式表明，如果用经典的坐标和动量来描述微观粒子的运动，则必然存在这种不确定关系。

一个量测得越精确，另一个量测得越不精确。

能量和时间也有类似的测不准关系2≥∆∆t E ９. 薛定谔方程波函数随时间变化所满足的方程，其形式为),(ˆ),(t r H tt r i ψψ=∂∂对于定态即势函数不随时间而变化，其波函数满足的方程)()(ˆr E r Hψψ= 称为定态薛定谔方程。

式中)()(2ˆ2222222r U zy x m H+∂∂+∂∂+∂∂-= 称为哈密顿算符，E 为微观粒子的能量，m 为粒子的质量。

１０.一维无限深势阱势能函数⎩⎨⎧≥≤∞<<=),0()0(0)(L x x L x x U能量22222mL nE n π= n=1,2,3……波函数⎪⎩⎪⎨⎧==)(0)()(sin 2)(阱外阱内x x L n L x nnψπψ粒子在势阱中各点的概率密度x an L x x P n n πψ22sin 2)()(== １１.氢原子 氢原子的势函数20()4e U r rπε=-解定态薛定谔方程的结果 能量量子化44222222200,1,2,3832n me me E n h n nεπε==-= 角动量量子化,0,1,2,,1L l n ==-角动量空间量子化,0,1,2,,z l l L m m l ==±±±电子自旋角动量)1(+=s s S原子中电子运动由四个量子数决定：(1) 主量子数n ＝1,2,3……，它确定原子中电子的能量 (2) 角量子数l ＝0,1,2,3……n-1，它确定电子轨道角动量的值。

(3) 轨道磁量子数l m ＝l ±±±,,2,1,0 。

它确定轨道角动量在空间任一方向上分量的量子化。

(4) 自旋磁量子数s m ＝21±。

它决定电子自旋角动量在空间任一方向上分量的量子化。

１２.原子的电子壳层结构多电子原子核外电子的分层排布遵循两条基本原理： (1) 泡利不相容原理不可能有两个或两个以上的电子占据四个量子数完全相同的量子态。

(2) 能量最低原理原子系统处于正常态时，每个电子趋向于占据可能的最低能级。

原子中主量子数为n 的壳层最多能容纳电子数为22n 。

l 支壳层中最多可容纳的电子数为2（2l ＋1）。

解题指导与示例量子物理基础这一部分涉及题目属于基本的，只要掌握了基本的内容，一般都能正确解答，所以可以通过示例理解、掌握其方法。

重要放在学习基本的内容，基本现象，基本规律的学习方面。

例15-1假设太阳的表面温度为5700K ，计算太阳每秒损失的静质量，设太阳直径为m 9104.1⨯。

解：根据斯忒藩－玻尔兹曼定律：40T E σ=可以得到太阳的总发射本领(单位时间内、单位面积上所辐射的能量)2748401099.557001067.5--⨯=⨯⨯==Wm T E σ所以太阳表面每秒辐射的总能量为s J R E S E E /1069.3)104.1(1099.5)4(26297200⨯=⨯⨯⨯⨯=⋅==ππ由爱因斯坦质能关系：20c m E = 太阳每秒损失的静质量为19282620101.4)103(1069.3-⨯=⨯⨯==kgs c E m 例15-2已知铯的红限为Hz 140108.4⨯=ν，逸出功eV A 9.1=，用钠黄光nm 3.589=λ照射铯。

试求：(1) 黄光光子的能量、质量和动量； (2) 铯在光电效应中释放的光电子的初速度；(3) 铯的遏止电压多大？若改用nm 0.500'=λ的光照射，其遏止电压又为多少？解：(1) J chh E 19104.3-⨯===λνsm kg ch p kg ch m /101.1108.327362⋅⨯==⨯==--νν(2) s m A h mv /108.8)(25⨯=-=ν (3)遏止电压满足221mv eU =V emv U 19.222==由 A eU ch+=λ波长变化后 A eU ch +=''λ有 V e hc U U 56.2)11(''=-+=λλ例15-3在与波长为0.01nm 的X 射线束成某个角度ϕ的方向，康普顿效应引起的波长改变为0.0024nm ，试求角及这时传递给反冲电子的能量。

解：由康普顿散射公式)cos 1(0θλ-=∆cm h得 000243.00024.01/1cos 0≈-=∆-=c m h λϕ090=ϕ设传给反冲电子的能量为E x ，根据能量守恒定律2200mc h c m h +=+νν)11(0202λλνν-=-=-=hc h h c m mc E KeVJ hc 41510101083400104.21085.310)1.0024.0(101.010024.010310626.6)(⨯=⨯=⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=-----λλλλ例15-4 已知氢原子光谱的某一线系的极限波长为364.7nm ，其中有一谱线的波长为656.5nm ，试由玻尔理论求出与该波长相对应的原子初态与末态的能级以及电子的轨道半径。

解：用m, n 分别表示始末态的量子数，极限波长应为从量子数∞=n 跃迁到主量子数m 时所辐射的光波长。

即222)11(1m R m R =∞-=∞λ 210097.110674.379=⨯⨯⨯==-∞λR m该谱线系为巴耳末系。

由)11(122n m R n-=λ 310)647.3565.6(10647.310565.610097.19997=⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=-=---∞∞λλλλn n R n 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=)(053.0)(6.1322nm n r eV n E nn得初态n=3nm r eV E 477.0,51.133=-=末态n=2nm r eV E 212.0,4.322=-=例15-5 设电子的初速度为零，不考虑相对论效应求电子经100V 电压加速后的德布罗意波长；若考虑相对论效应，试证明当电势差为U 时，电子的德布罗意波长为)2(20c m eU eU hc +=λ解：不考虑相对论效应，电子经电势差U 加速后的动能为eU m p E k ==022得电子的动量为eU m p 02=电子的德不罗意波长为nm eUm hph 103.01001060.11011.921063.621931340=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===---λ考虑到相对论效应时，由相对论能量与动量关系420222c m c p E += 并利用eU c m E +=222024202)2(c c m eU eU c c m E p +=-=)2(20c m eU eU hc p h +==λ例15-６一光子的波长为300nm ，如果测得610/-=∆λλ，求光子位置的不确定量。