波函数是单值的、连续的和有限的。 波函数 (r , t )和A (r , t ) (A是常数)描述了同一个量子 态，对于空间任意两点 ri 和 r j 有
2 2 (ri , t ) A (ri , t ) 2 2 (rj , t ) A (rj , t )
2
该薄层中发现粒子的概率

(t , y z

x , y , z ) dxdydz
2
例2:用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝B遮盖，电子穿 过狭缝A到达屏上任意一点P的状态为1，后将狭缝A遮盖， 电子穿过狭缝B到达屏上任意一点的P状态为2。求将两狭缝 打开，电子同时穿过A和B两个狭缝到达屏上点P的概率密度。 解: 由线性叠加，得
波函数允许包含一 个任意的常数因子。

归一化条件
(r ,t ) (r ,t )d 1
V
例1:已知描述粒子的归一化波函数为(t,x,y,z)，求在t时刻、 在x到x+dx的无限大薄层内发现粒子的概率。 解: 体积元内的概率为 ( t , x , y , z ) dxdydz
微观粒子的概率波的波函数是 (r , t ) ( x, y, z, t )， 那么概率正比于 2 ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )dxdydz ( x, y, z, t ) dxdydz 或
概率密度为
( x, y, z, t ) ( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
•特定的E值称为能量本征值
r) •各E值所对应的 E (叫能量本征函数
•故该方程又称为：能量本征值方程 •定态: 能量取确定值的状态
•定态波函数: E (r ,t ) E (r )T (t ) C E
i Et (r ) e
一维定态薛定谔方程：
2 d2 U ( x) ( x) E ( x) 2 2m dx
薛定谔方程的解为
( x) A sin( kx )
根据 (0) 0，可以确定 = 0或m，m =1,2,3,。于 是上式改写为 ( x) A sin kx
根据 (0) 0，得
d 2 ( x ) 0 2 dt
ka = n， n = 1,2,3,…
因为当n = 0时，必定k = 0，定态薛定谔方程应有 解得
波函数及其统计诠释
微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数 (r , t) 来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性， 就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一） 不代表实际 玻恩指出：德布罗意波或波函数 (r , t) 物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的 概率波。
量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接 物理意义的, 具有直接物理意义的是波函数的模的 平方，它代表了粒子出现的概率。
一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱 对于一维无限深方势阱有
0 U ( x) (0 x a ) ( 0 x, x a)
∞
U(x)
∞
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
2 2 d H 2 d x 2
0
k
2 2 E 2 0 2 dx
i Et
0e
i ( Et P x )
与前面得到的自由粒子的波函数相同 E是粒子的能量 P是粒子的动量 通过该例可以体会量子力学解题的基本思路
定态薛定谔方程 ( r , t ) ( r ) f (t ) 因势场只是坐标的函数，所以有 将上式代入薛定谔方程，得
i d f (t ) 1 2 2 [ U (r )] (r ) f (t ) dt ( r ) 2
由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。 方程1:
d f (t ) i Ef ( t ) dt
其解为 f (t ) CeiE t /
2 2 方程2: [ U (r )] (r ) E (r ) 定态薛定谔方程 2 iEt / h 特解为 (r , t ) (r )e 概率密度分布为 (r ,t ) (r ,t ) (r ,t ) (r ) (r )
2
c1 1 c2 2
2
屏上点P发现电子的概率密度为

c1 1 c 2 2
2
( c1 1 c 2 2 )(c1 1 c 2 2 )




c1 1 c2 2 c1 c 2 1 2 c1c2 1 2
2
只有一些特定的E 值才能使定态薛定谔 方程的解满足波函数的物理条件 即单值 有限 连续 归一
例3：求描述自由粒子的波函数 解：因为 U = 0 所以薛定谔方程为
2 d 2 E 2 2m dx
得解为 ( x) B e 0

i 2 mE
B0e
i P x
则自由粒子的波函数
( x, t ) ( x)T (t )
B0e
i P x
Ce
2 nx n ( x) sin , n 1,2,3, a a
(x ) C x + D
2 k 2 22n2 En , n 1,2,3, 所以 2 2 2 a 由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱, 这 个分立的能谱就是量子化了的能级。 22 E1 0 零点能 基态的能量为 2 2 a
与能量本征值En相对应的本征函数n (x)为 nx n ( x ) A sin( ) a a 2 A 2/a 利用归一化条件 0 n ( x ) dx 1，得 归一化波函数为