讲义内容
知识概括
知识点一：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况等价于抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与直线y=0(即x 轴)的公共点的个数。
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点有三种情况：两个公共点（即有两个交点），一个公共点，没有公共点，因此有：
(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点(x
1，0)(x
2
，0)一元二次方程ax2+bx+c=0有两个
不等实根△=b2-4ac>0。
(2)抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点时，此公共点即为顶点一元二次方程
ax2+bx+c=0有两个相等实根，
(3)抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根△=b2-4ac<0.
(4)事实上，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=h的公共点情况方程ax2+bx+c=h的根的情况。
抛物线y=ax2+bx+c与直线y=mx+n的公共点情况方程ax2+bx+c=mx+n的根的情况。
方法总结：
⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数2
y ax bx c
=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x
轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)
ax bx c a
++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0
a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
∆>抛物线与x轴有
两个交点二次三项式的值可正、
可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
∆=抛物线与x轴只
有一个交点
二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0
∆<抛物线与x轴无
交点
二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.
题型一 求字母系数的取值范围
【例1】若二次函数)1(24)1(22-+--=k kx x k y 的图象与x 轴有两个交点，求k 的取值范围；
练习1：已知：关于x 的函数772--=x kx y 的图象与x 轴总有交点，求k 的取值范围？
练习2：已知抛物线223
4
y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；
练习3：已知关于x 的二次函数y ＝x 2－（2m －1）x ＋m 2＋3m ＋4.
探究m 满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.
题型二 一次函数图象和二次函数图象的交点问题
【例2】已知抛物线C 经过（-5，0），（0，25
），（1，6）三点,直线l 的函数表达式为32-=x y ；
（1）求抛物线的表达式；
（2）证明抛物线C 与直线l 无交点；
（3）若与l 平行的直线m x y +=2与抛物线C 只有一个公共点P ，求点P 的坐标；
练习1：已知二次函数y=﹣x 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b ，c 的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围．
题型三 关于二次函数图象交点的综合问题
【例3】已知抛物线223
4y x kx k =+-（k 为常数，且k ＞0）．
（1）证明：此抛物线与x 轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123
ON
OM
-
=
，
求k 的值．
练习1：抛物线2y x bx c =-++的部分图象如图所示，则方程02=++-c bx x 的两根为 .
练习2：下列命题：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；
②若b a c >+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ③若23b a c =+，则一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根； ④若240b ac ->，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3. 其中正确的是（ ）．
Ａ.只有①②③Ｂ．只有①③④Ｃ．只有①④Ｄ．只有②
【例4】已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．
练习：已知关于x的方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式；
（3）在直角坐标系xoy中，画出（2）中的函数图象，结合图象回答问题：当直线y=x+b与（2）中的函数图象只有两个交点时，求b的取值范围．。