人口增长预测数学实验指导教师：何仁斌城市建设与环境工程学院环境工程1班姓名：郑惋月学号：20096545人口增长预测摘要：人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

本文主要介绍了两个最基本的人口模型，即人口指数增长模型和阻滞增长模型，并利用美国1790年至1980年人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预测2010年美国人口。

模型一：建立了指数增长模型，根据规律建立模型公式——年增长率r不变。

我们要验证该模型是否适用。

取题目中给出的数据1790年至1900年的，数据拟合用MATLAB软件计算的增长率r以及初始人口数。

讲以上两参数带入公式，算的人口数量，将之与实际人口数相比较画出对比图形，发现比较相符。

又取1790至2000年的数据，重复刚才步骤。

发现算出数据前半部分相符，但后半部分明显增加的比实际数据快。

所以，Malthus人口模型只适用于短期，并不适用于长期的人口预测。

因为人口在增长到一定程度时，由于资源和环境对人口增长的阻滞作用使增长率下降。

模型二：建立了阻滞增长人口阻滞增长模型，利用题目中给出的数据。

根据公式做出人口的时间变化率与人口容量的关系图，以及人口与时间的关系图。

选择1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算出增长率和人口容量。

根据得到的数据带入公式的到计算的人口数量与实际数据作比较。

可以看出这个模型的吻合度相当好，由于阻滞增长人口模型。

可以据此模型有效的预测在以后一段时间内如2020的美国人口增长。

依次内推也可以利用此模型来预测世界人口在相当一段时间内的人口增长。

模型三：对模型进行了进一步的修正。

最后，分别对三模型进行优缺点评价与改进。

关键字：人口预测； matlab软件；人口指数增长模型；阻滞增长模型目录一、问题重述 (3)二、问题分析 (3)三、模型假设 (4)1.模型一 (4)2.模型二 (4)3.模型三 (4)四、符号说明 (4)1.模型一 (4)2.模型二 (4)五、模型的建立 (5)5.1指数增长模型 (5)5.1.1模型建立 (5)5.1.2结果分析与模型检验 (6)5.2阻滞增长模型 (7)5.2.1模型建立 (7)5.2.2结果分析与模型检验 (8)5.3修改模型 (10)5.3.1模型建立 (10)5.3.2结果分析与模型检验 (10)六、总结 (11)附录1 (13)一、问题重述长期以来，人类的繁衍一直在自发的进行着，只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才开始猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如进行人口控制等问题。

认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。

二、问题分析人口的变化受到众多方面因素的影响，。

人口数量对人类的发展影响也是与日俱增。

所以对人口数量的控制和预测也显得尤为重要。

就此我们需要找到更好更精确的人口增长模型来预测人口数量。

就此，根据题目所给的信息，就美国从1790年至2000年的人口增长入手，用指数增长模型的检验人口增长是否相符，预测人口增长。

并改进成阻滞增长模型，并用它预测人口增长。

1.先用指数增长模型检验人口增长是否相符。

由于经历的时间比较长，所以我们分为长期和短期分别检验。

就会发现规律，短期的符合该模型，而长期而言后半期明显计算的增加的比较快。

根据这个问题我们找原因。

由于资源、环境问题使阻滞增长人口模型人口增加到一定数量时，增长率会减慢。

据此改进我们就得到了第二个模型。

2.得到第二个模型后先找规律，找关键点。

及增长率随时间的变化以及人口容量值。

分析人口随时间变化率与人口容量的关系。

然后得出人口与时间的关系。

最后检验计算值与实际值是否相符，很明显相符的。

所以我们就可以用之预测人口数量了。

3.分析两模型的优缺点，适用范围，以便我们更广泛明了的使用。

三、模型假设1.模型一人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus ，1766--1834）1)时刻t 人口增长的速率与当时人口数成正比，增长率为常数r 。

2)以P(t)表示时刻t 某地区（或国家）的人口数，设人口数P(t)足够大，可以视做连续函数处理，且P(t)关于t 连续可微。

2.模型二阻滞增长模型（Logistic ）1)地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用资源1/ P m (t) ； 2)在时刻t ，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩余资源 成正比；比例系数表示人口的固有增长率 ； 3)设人口数P(t)足够大，可以视做连续变量处理，且P(t)关于t 连续可微。

3.模型三基于模型一和二，对模型进行了进一步的修正。

四、符号说明1.模型一 t 表示某一时刻；P(t) 表示时刻t 某地区（或国家）的人口数； r 表示人口增长率为常数。

2.模型二 t 表示某一时刻；*-=P P s /1P(t) 表示时刻t 某地区（或国家）的人口数；P m (t)表示自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量； r 为固有增长率，表示人口很少是（理论上是x=0）的增长率。

五、模型的建立5.1指数增长模型 5.1.1模型建立记时刻t 的人口数为P(t),当考察一个国家或者一个较大地区的人口时，P(t)是一个很大的整数。

利用微积分只是，将P(t)视为关于t 连续可微。

记初始时刻（t=0）的认可为P 0.。

加上假设人口增长率为常数r ，即单位时间内P(t)的增量等于r 乘以P(t)。

当考虑t 到t+△t 时间内人口的增量，则有 P(t+△t)- P(t)=rP △t (1) 令△t 0，得到P(t)满足微分方程P r dtdP⋅= (2) 由这个方程可以解出P(t)=P 0e rt (3)r>0时，表示人口将按指数规律随时间无限增长。

利用线性最小二乘法，将(3)式取对数，得到 y=rt+a ，y=ln P ，a=ln P 0 (4)运用Matlab 编程（程序见附录1）,以1790年至1900的数据对(4)进行数据拟合，得到相关的参数a=lnP 0=1.4323; r=0.0274，得到 P 0=exp(a)= 4.1883。

因此可以得到指数增长模型的方程为： P(t)=4.1883*exp(0.0274*t) (5)同理可得：若以全部数据拟合对(4)进行数据拟合，得到指数增长模型的方程为：P(t)= 6.0448*exp(0.0202*t) (6)5.1.2结果分析与模型检验将(5)、(6)式的计算结果与实际数据作比较，表二中人口P1是用1790年至1900年的数据拟合的结果，P2是用1790年至1990年的数据拟合的结果，图1、图2是它们的图形表示(+是实际数据，曲线是计算结果)。

(程序见附录1)表二美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较图1指数增长模型拟合图形(1790~1900) 图2指数增长模型拟合图形(1790~1990)可以看出，用这个模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长，但是进入20世纪以后，美国人口明显变慢，这个模型就不合适了。

显然，用它作短期人口预测也可以得到较好的结果。

而 在这种情况下，模型的基本假设----人口增长率是常数----大致成立。

但是从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述也不能预测较长时期的人口演变过程。

排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人数增长到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长量减小。

预测2010年美国人口：P(2000)= 6.0448*exp(0.0202*200)= 343.5 将1790年至2000年数据进行数据拟合，得到 P(t)= 6.2358*exp(0.0198 *t) 则有P(2010)= 398.7百万 5.2阻滞增长模型 5.2.1模型建立人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因中，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。

阻滞增长模型就是考虑了这些因素，对指数增长的基本假设进行修改后得到的。

组织增长作用主要是体现在对人口增长率r 的影响上，使得随着r 的增长人口数量P(t)的增长而下降。

则可以把r 表示为P 的函数r(P)，且它应是减函数。

于是方程应该改写为rP dtdP，P(0)=P 0 (1) 假设r(x)是一个关于x 的线性函数，即r(P)=r-Px(r>0,s>0) (2)其中这里的r 为固有增长率，表示人口很少是（理论上是x=0）的增长率。

引入自然资源和环境条件能容纳的最大人口数量P m (t)当P(t)= P m (t)时，人口不再增长，即增长率r(P)=0，代入得到s=PmP，于是有 P(t)=r(1-PmP) (3) 将(3)代入方程得)PmP 1(-=rP dt dP ,P(0)=P 0 (4) 解方程（4）可得：rtme P Pt P --+=)1(1P )(0m (5)根据方程(4)作出x dtdp~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.5.2.2结果分析与模型检验利用表1中1790-1980的数据对r 和P m 拟合得：r=0.2072, P m =464. 将r=0.2072, x m =464代入公式（5）则有te t P *072.20)1.93464(1464)(--+=求出用指数增长模型预测的1800-1980的人口数，见下表第3、4列.也可将方程（4）离散化，得)(P )P )(P 1()(P P )(P )1(P t t r t t t m-+=∆+=+ t=0,10,20,… (6) 用公式（6）预测1800-1980的人口数，结果见表3第5、6列.表三 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较图三阻滞增长模型拟合图形（以1790年为起点）可以看出，这个模型虽然中间有一点（19世纪中叶到20世纪中叶）不大好，但是最后一段（20世纪中叶以后）吻合得很好。

且从表中可以看到，误差是很小的，在允许的误差范围之内，与上图情况一样。

所以这个模型能够更好的预测人口增长。

P(1990)=P(1980)+△P= P(1980)+r P(1980)[1-P(1990)/P m]=250.5。

将1790至1990的数据一起重新估价参数，可得r=0.2083, P m=457.6.得到P(2000)=274.5。

然后同理可得P(2010)=297.9百万。

5.3修改模型5.3.1模型建立从图三看出，在前一段吻合得比较好，但在最上面，若拟合曲线更接近原始数据，对将来人口的预测应该更好。