中国人口增长预测模型【摘要】：预测中国人口增长对研究中国经济和社会发展具有重要意义。

本文在分析近年来中国人口统计数据的基础上，充分考虑城市、城镇、乡村的差别，建立Leslie]1[人口预测修正模型，运用高斯牛顿非线性最小二乘法]2[对中国人口数量中短期及远期的增长进行了分析和预测，其结果与目前中国人口的变化规律比较符合。

针对中国人口增长情况，运用Leslie修正人口模型的方法，借助于Matlab 软件，得到中短期和远期的城市、镇、乡村人口总量如下：决定人口发展的关键性参数是人口死亡率,妇女平均生育率和人口的初始年龄分布,本文通过对相应数据用Excel进行统计分析,以2005年为初始年建立Leslie修正模型对中国未来人口进行长期预测,发现人口总数从2005年到2030年总体呈先上升再下降最终趋于平隐的趋势,人口总数将在2020年左右再次达到峰值。

此外针对数据的无规律性建立GM (1, 1)模型]3[预测出未来30年市、镇、乡每类人口性别比呈缓慢的增长趋势。

并运用预测数据结果对老龄化、城镇化、生育率、性别比、被抚养比等人口特征指标进行简要分析。

本模型充分利用了各个年龄阶段的指标数据，考虑到各个方面，预测更接近中国人口发展实际情况。

人口老龄化是21世纪世界人口变动的一大趋势，关系到国家的可持续发展,中国正在步入老龄化国家的行列，从而产生连带的一系列的社会问题,因此对中国人口数据的认知和预测对政府在人口政策制定及宏观调控上都具有非常重要的现实意义。

关键词：Leslie修正模型高斯牛顿非线性最小二乘法灰色理论Matlab Excel统计老龄化被抚养比性别比生育率1. 背景分析近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，也是建立模型的过程中必须考虑的三个背景：1. 老龄化进程加速：老年人口数量多、老龄化速度快、高龄趋势明显。

我国是人口大国，也是世界上老年人口最多的国家。

2. 城乡均出现异常，农村失调程度更为严重。

3. 城镇化进程日益明显城镇居民的比例显著加大，表明大量的农村人口转移到城镇。

城镇化是社会发展的趋势，对中国人口结构有显著影响。

2.提出问题中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

要求根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国的人口问题做出分析和预测。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

要求结合以上几方面的因素，从中国的实际情况和人口增长的特点出发，对中国人口做出分析。

现提出以下三个问题：1)试根据附录中的信息和问题的要求，根据中国的国情特点，建立一种适合分析中国人口问题的数学模型。

2)根据建立的数学模型对中国人口增长的中断期与长期趋势做出预测。

3)要求指出模型中的优点与不足之处。

3.分析问题本问题的难点是在中国人口发展出现了一些新的特点的背景下建立中国人口增长的数学模型。

由于中国的国情不同于别的国家，因而在建模的过程中，我们应当考虑老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高、以及乡村人口城镇化等因素对中国总人口增长的影响。

应尽量根据这些因素的特点建立适合分析中国人口问题的数学模型。

在这里可以利用Leslie人口预测模型，但也要因地制宜，要尽量考虑模型的覆盖面，使模型在预测中短期与长期人口增长趋势尽量发挥其长处，使得得到的结果尽量符合实际。

因此，可以根据国情建立Leslie修正模型，使得模型能够更好地解决中国人口趋势预测问题。

运用预测数据结果对老龄化、抚养比、人口素质等人口特征指标进行简要分析，并结合预测结果对中国未来几十年人口发展进行分析说明。

最后，对模型中的优点与不足之处要加以评析，提高模型在人口趋势预测方面的准确率和可推广度。

4.问题假设1. 在做中短期预测及长期预测时，假设国家间及内部不会发生大的灾害（如瘟疫）或战争；2. 判断人口老龄的标准为国家通用标准的65岁；3. 假设育龄妇女只生一个小孩，忽略育龄妇女生育双胞胎或者多胞胎的情况；4. 假设在预测期内无战争或自然灾害等引起的大规模伤亡或迁移，即国内人口变化主要取决于生育率、死亡率。

5. 人类的生育观念不发生太大改变；6. 在短期内,人口的生育率、死亡率的总体水平可看成不变；7. 附表中所给数据具有较高的可信度。

5. 符号说明5.模型准备5.1 数据整理5.1.1 人口总数通过分析数据可以观测近五年人口总数的变化, 2005年人口普查抽样数据是总人口的1.31‰ , 2001～2004年均按1‰抽样,得到2001～2005年人口变化趋势：图 1由图1可见：2004年人口总数有所下降，可能是因为2003年的非典型肺炎等疾病的侵袭。

总体来说，近五年人口总数基本稳定，而且有上升的趋势。

考虑到各种因素，在预测中短期人口趋势的时候，我们选择2005年的各项数据作为初始值。

5.1.2 总和生育率以及各年龄段死亡率总和生育率是指一定时期各年龄组妇女生育率的合计数 ，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期,平均可能生育的子女数是衡量生育水平最常用的指标之一。

查询统计年鉴可以知道2001年至2005年的总和生育率分别为1.2649、1.2722、1.3609、1.3153、1.2860，由此可知，发展趋势平缓，基本稳定。

年龄段死亡率：在时段t 的第k 个年龄组的死亡率为dk(t)，即第k 年龄组一个时间段内死亡数与总数之比，同时也可得到存活率pk(t)=1-dk(t)。

根据所提供的数据，利用Matlab 软件编程可以得到2001年至2005年各年龄段的死亡率（程序见附录1）。

6. 模型的建立以及求解6.1 模型一：Leslie 人口模型将全国总人口按年龄大小等间隔的分成91个年龄组，时段的间隔与年龄区间大小相等,即以一年为一个时段。

人口数目是通过女性个体的生育而增长的,因此以女性人口为研究对象来预测未来女性的人口总数。

设时段t 第k 年龄组的种群数量)(t xk ，90≤=+N k ，+=N t 时段t 第k 个年龄组的妇女生育率为)(t bk ，即第k 个年龄组每一妇女在一个时间段内平均生育量。

设时段t 第k 年龄组的死亡率为)(t dk ，即第k 年龄组一个时段内死亡数与总数之比，同时也可得到存活率)(1)(t dk t pk -=。

根据在稳定的环境下假设)(t bk 和)(t dk 不随时段t 变化的合理性，由年鉴中数据可得到)(t bk 和)(t dk 。

根据Leslie 模型的思想：时段t +1第1年龄组种群数量是时段t 各年龄组繁殖数量之和,即：∑==+900)()()1(k k k t x t b t x ①时段t +1第k +1年龄组的种群数量是由时段t 第k 年龄组存活下来的数量,即:)()()1(1t x t p t x k k k =++，90≤=+N k ②其中:0)0(j j x x =，90≤=+N j ③时段t 种群按年龄组分布向量：T t x t x t x t x t x t x )]()(),(),(),([)(903210⋯⋯=则有生育率k b 和存活率k p 构成矩阵L=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0)(000000000)(00000)()()()()()(90109089210t p t p t p t b t b t b t b t b 称为Leslie 矩阵。

由以上递推可得01X =X =X +t t t L L这就是Leslie 模型。

运用Matlab 不难求出人口总数。

6.2 模型二：Leslie 修正模型 6.2.1 模型的建立由于Leslie 模型中所用的)(t xk 只是时段t 所有年龄组的妇女数目,预测结果也是女性总数,为了得到某一年的人口总数,必须先预测未来某一年的性别比例才可得到总人数,于是整个建模过程用了两次预测,两次预测均引入了误差,这样预测出的总人口数误差较大。

由此，我们改进了Leslie 模型,直接预测出未来人口总数。

如果令)('t k x 为时段t 年龄组的男女总数，)('t k d 为时段t 某个年龄组人口自然死亡率。

于是得到的存活率)(1)(''t k d t k p -=，为了统一单位,将生育率作如下变化：)()()()()('t m t w t w t b t b k k +⨯=；其中)(t w 为时段t 的女性人口总数，)(t m 为时段t 的男性人口总数。

于是重新得到的Leslie 矩阵变为：Q =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯0)(000000000)(00000)()()()()()(90'1'0'90'89'2'1'0't p t p t p t b t b t b t b t b得到修正的Leslie 模型人口预测公式为：)0()(''Qx t x = 6.2.2 模型的求解根据2005年的初始值向量)0('x 可以预测未来的人口总数（程序见附录1，预测图见附件1）：以及城镇乡人数的二项式函数，进行比较之后，最终确定二阶函数为最佳拟合函数（拟合图见附件1）。

如下：城市人口：2ty+.0t-=；74980017.0.10109城镇人口：2t0009-=；.0ty+.09448.00122乡村人口：2ty+-=；.0t0024.04359.20102总人口：2ty+-=；.0t0051.01333.50064综上所述，我们发现人口总数从2005年到2030年总体呈先上升再下降最终趋于平隐的趋势,人口总数将在2020年左右再次达到峰值。

人口出现下降的主要原因是因为计划生育政策起到了显著的效果。

6.2.3 模型的检验为了检验我们求解的可信度，利用该模型分别以2001年至2004年的数据作为初始值来预测2002年至2005年，然后在与2002至2005的实际值进行比较分析。

以观察上表，我们由预测值与实际值之间的误差可以知道，该模型的预测可信度很高。

6.2.4 模型改进为了提高模型的精度，我们还可以利用离散型灰色预测模型，使得预测结果更加的精确。

GM(1,1)模型中具有预测意义的数据仅仅是数据x(n)以后的前几个数据，随着时间的推移，老的数据越来越不适应新的情况，也就是说，老数据的信息意义将随时间的推移而降低。

所以，要在原数据的基础上每次增加一个新信息时，就去掉一个老信息。

这种新数据补充、老数据除掉的数据列，叫等维灰数递补模型]4[。

设原始数列为:置入新信息, 去掉老信息, 可构成新数列:利用这一新数列建立的GM(1,1)模型,即为等维新息GM(1,1)模型。