n 2 π 10 π 角速度 ω = = rad/s 60 3 π ω − ω0 角加速度 α = 1 = − rad/s 2 3 t
按动静法，在飞轮上加上转向与 α 相反的惯性力矩 md 按动静法，
0.5π md = − I xα = kN⋅ m 3
设摩擦力偶为 m f
mf = md
轴内扭矩
0.5π T = md = kN⋅ m 3
2T ∆d = 1+ 1+ Kd = P∆ st ∆st
冲击动荷因数
几种常见情况下的冲击动荷因数 几种常见情况下的冲击动荷因数 (1) 垂直冲击(自由落体) 这时， 这时，物体与弹簧开始接触T为:
T = Qh
2h Kd =1+ 1+ ∆st
(2) 水平冲击 设接触时的速度为v , 则动能:
1Q 2 T= v 2g
1 Vε d = Fd ∆ d 2
在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比， 在线弹性范围内，载荷、变形和应力成正比，故：
∆d ⇒ Fd = P ∆ st
Fd ∆ d σ d = = P ∆ st σ st
1 ∆2 d Vε d = P 2 ∆ st
代入机械能守恒定律， 代入机械能守恒定律，化简得:
a Kd =1+ g
σ d = K d σ st
强度条件可写为： 强度条件可写为：
记：
σ d = K dσ st ≤ [σ ]
动荷因数
动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等； 按静载荷求解应力、应变、变形等； 3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。 即可。
解： 在相同的静载荷作 用下，两杆的静应力 σ st 相同，但杆a的静变形 相同，但杆a的静变形 a ∆ st 显 然小于杆b的静 b ∆ st ，则杆a的动应力 变形 必然大于杆b的动应力。而且杆a的削弱部分的长度s越小，则静 变形越小，就更加增大了动应力的数值。
v2 Kd = g∆st
σ d = Kdσ st
= γ A l1 + N d max A a g
a γ A l1 + g
强度条件
σ d = ρ v 2 ≤ [σ ]
可看出：要保证圆环的强度，只能限制圆环的转速， 可看出：要保证圆环的强度，只能限制圆环的转速，增大截 面积A并不能提高圆环的强度 并不能提高圆环的强度。 面积 并不能提高圆环的强度。
例：在B端有一个质量很大的飞 端有一个质量很大的飞 与飞轮相比， 轮，与飞轮相比，轴的质量可忽 已知飞轮转速n=100r/min， 略。已知飞轮转速 转动惯量 Ix＝0.5kN·m·s2。轴直 径d=100mm。刹车时在 秒内均 。刹车时在10秒内均 匀减速停止转动。 匀减速停止转动。 求：轴内最大动应力。 轴内最大动应力。 解：
例： 已知: 悬臂梁, 已知 悬臂梁 EI, l, Q, h , W。 。 求：△B 和 σdmax。 解： 垂直冲击问题 A B l
h
Ql 3 B点静位移 ∆ = st 3EI
垂直冲击动荷系数 垂直冲击动荷系数
最大静弯矩 Mst max = Ql 最大静应力
6hEI 2h Kd =1+ 1+ = 1+ 1+ ∆st Ql 3
h ≤ 0.385m=385 mm
动静法练习： 动静法练习：
1.容重为γ，杆长为 ，横截面面积为Ａ的等直杆，以 容重为 ，杆长为l，横截面面积为Ａ的等直杆， 容重 匀加速度ａ上升，作杆的轴力图，并求杆内最大动 匀加速度ａ上升，作杆的轴力图， 应力。 应力。
Nd
γ Ax
g
γ Ax +
a
解： a N d ( x ) = γ Ax + a = γ Ax 1 + g g
2T ∆ st ∆ − 2∆ st ∆ d − =0 P
2 d
解此一元二次方程得:
2T ∆ d = ∆ st 1 + 1 + p∆ st
引入记号:
2T ∆d = 1+ 1+ Kd = P∆ st ∆st

冲击动荷因数
则:
∆d = Kd ∆st ,
Fd = K d P,
σ d = Kdσ st
以重物所在的水平面为零势面， 以重物所在的水平面为零势面，则势能:
V =0
忽略能量损失，由机械能守恒定律，有: 忽略能量损失，由机械能守恒定律，
∆T + ∆V = Vε d
1 Q 2 1 ∆2 d v = Q 2g 2 ∆ st
v2 ∆d = ⋅ ∆st g∆st
即:
v2 Kd = g∆st
(3) 突加载荷 对于初始速度为零， 对于初始速度为零，初始高度为零的突然加于构件上的载荷, 由垂直冲击公式
2h Kd =1+ 1+ ∆st
Kd = 2
所以，承受突加载荷时， 所以，承受突加载荷时，构件内的应力和变形均为静载时的 两和冲击应力的措施 减小冲击载荷和冲击应力的措施 冲击载荷
由冲击动荷系数公式
2T Kd = 1 + 1 + , p∆ st
v2 Kd = g∆st
可以看出： 应使结构上受冲 可以看出：要使Kd小，应使 △st 大。即：应使结构上受冲 击点的静位移尽量地大 的静位移尽量地大。 击点的静位移尽量地大。 工程实例: 气缸
最大扭转切应力
Wt =
πd3
16
τ max
T = = 2.67 ×106 Pa = 2.67MPa Wt
§10.4 杆件受冲击时的应力和变形
1 工程中的冲击问题 锻造，打桩，刹车等。 锻造，打桩，刹车等。 特点：冲击物在极短瞬间速度发生剧变 被冲击物在此瞬间 在极短瞬间速度发生剧变， 特点：冲击物在极短瞬间速度发生剧变，被冲击物在此瞬间 受到很大冲击力的作用。 受到很大冲击力的作用。 例如： 例如： 锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。是重力的 ， 。是重力的335倍。 倍 2 求解冲击问题的基本假设 求解冲击问题的基本假设 在计算时作如下假设: 在计算时作如下假设 1.冲击物视为刚体，不考虑其变形; 冲击物视为刚体，不考虑其变形 冲击物视为刚体 2.被冲击物的质量可忽略不计 被冲击物的质量可忽略不计; 被冲击物的质量可忽略不计 3.冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动 冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动; 冲击后冲击物与被冲击物附着在一起运动 4.不考虑冲击时其他能量（如热能）的损失， 不考虑冲击时其他能量（如热能）的损失， 不考虑冲击时其他能量 即认为只有系统动能与势能的转化。 即认为只有系统动能与势能的转化。
例：图示钢杆的下端有一固定圆盘，盘上放 图示钢杆的下端有一固定圆盘， 置弹簧。弹簧在1kN的静载荷作用下缩短 置弹簧。弹簧在1kN的静载荷作用下缩短 1kN 0.625mm。钢杆直径d=40mm, =4m =4m， 0.625mm。钢杆直径d=40mm, l=4m，许用应力 E=200GPa。若有重为15kN 15kN的重 [σ]=120MPa, E=200GPa。若有重为15kN的重
∆T + ∆V = Vε d
其中：T为动能； 其中： 为动能； V为重力势能； 为重力势能； 为弹簧变形能。 Vε d 为弹簧变形能。 设物体与弹簧开始接触时， 设物体与弹簧开始接触时，动能为T,最低位置时: ∆T = T 重物P向下移动距离为 ∆ d ，故： ∆V = P∆ d
设达到最大变形时， 设达到最大变形时，弹簧 所受的动载荷为: F d 满足胡克定律时， 满足胡克定律时，动载荷与弹 簧变形成正比， 簧变形成正比，且都是从零增 加到最终值。 加到最终值。故：
3 求解冲击问题的能量法 求解冲击问题的能量法 任一线弹性杆件或结构都可简化为线性弹簧。 任一线弹性杆件或结构都可简化为线性弹簧。 线性弹簧
Pl P ∆l = = EA EA / l
Pl 3 P w= = 48EI 48 EI / l 3
Ml M ϕ= = GI p GI p / l
能量法 设冲击物重为P,被冲 击物的最大变形为 △d 忽略能量损失， 忽略能量损失， 由 机械能守恒定律有 机械能守恒定律有:
相应的弯曲正应力（动应力） 相应的弯曲正应力（动应力）为：
b
R
a
R
M Aρ g a l σd = = (1 + )( − b)l W 2W g 4
当加速度等于零时， 当加速度等于零时，静载下弯曲正 应力为 应力为：
qd
l
Aρ g l σ st = ( − b)l 2W 4
故：
a σ d = σ st (1 + ) g
D 2 an = Rω = ω 2
2
Aρ D 2 qd = Aρ an = ω 2
取半圆， 取半圆，求内力 由以前的结论， 由以前的结论，有:
ω
qd
2FN d = qd ⋅ D
qd D Aρ D 2 2 = = ω 2 4
FN d
FNd
FNd
FN d ρ D 2ω 2 动应力 σ d = = = ρ v2 A 4
l
物自由落下，求其许可高度h 物自由落下，求其许可高度h。 解：接触点的静位移： 接触点的静位移：
∆ st = 15 × 0.625 × 10
2h Kd = 1 + 1 + ∆ st
−3
Ql + = 9.62 × 10 −3 m EA
Q 15 × 10 3 = 12 MPa σ st = = 2 A πd 4 2h σ d = K d ⋅ σ st = 1 + 1 + × 12 ≤ [σ ] = 120 ∆ st
第十章
动载荷