1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小量 x x
二、无穷大量
绝对值无限增大的变量称为无穷大量.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M ( 不论它多么 大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 所对应的函数
sin x ~ x , tan x ~ x ,
arcsin x ~ x , arctan x ~ x ,
x
1 2 ln(1 x ) ~ x , e 1 ~ x , 1 cos x ~ x . 2 1 1 n 1 x 1 ~ x 1 x 1 ~ x 2 n
(1 x ) 1 ~ x
四、无穷小量阶的比较
例如,
1 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x
2 2
观 察 各 极 限
x2 2 0, lim x 比3 x要快得多; x0 3 x sin x 1, sin x与x大致相同; lim x0 x 1 2 x sin 1 x lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 x0 x x
例2 当x 0时, 求 tan x sin x关于x的阶数.
tan x sin x tan x 1 cos x 1 解 lim lim( ) , 3 2 x 0 x 0 x x 2 x
tan x sin x为x的三阶无穷小 .
常用等价无穷小:
当x 0时,
意义 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
2.给出了函数f ( x )在x 0附近的近似表达式 f ( x ) A, 误差为( x ).
3.无穷小量的运算性质:
定理2 在同一过程中,有限个无穷小量的代数 和仍是无穷小量. 证 设及是当x 时的两个无穷小 ,
0, N 1 0, N 2 0, 使得
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A, x x
0
则有 lim ( x ) 0,
x x0
0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) 0, 且 f ( x ) 0.
x x0
M 0, 0, 使得当0 x x 0 时 1 恒有 f ( x ) , M
1.定义:
定义 1
极限为零的变量称为无穷小量.
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 ( 或 x X ) 的一切 x , 对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,

注
1. 上述10个等价无穷小必须熟练掌握；
2.将x换成f ( x ) 0都成立
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
lim 1, lim 0,
于是有 o().
即 o( ),
同理也有 o( )
一般地有
即α与β等价
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意
1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在 .
x x0
3. 无穷大量是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大量.
1 1 例如, 当x 0时, y sin x x 是一个无界变量, 但不是无穷大.
1 当x x0时, 为无穷大. f ( x)
意义 关于无穷大量的讨论,都可归结为关于无穷 小量的讨论.
极限运算法则的证明
定理 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
lim . 证 lim lim( ) lim lim lim
意义： 求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子 或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单 的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代 换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
定义: 设, 是同一过程中的两个无 穷小, 且 0. (1) 如果 lim 0, 就说 是比高阶的无穷小 , 记作 o( );
( 2) 如果 lim C (C 0), 就说 与是同阶的无穷小 ; 特殊地 如果 lim 1, 则称 与是等价的无穷小 ; 记作 ~ ;
1 2 1 2 2 , 有界， B( B ) B , 故 B( B ) B 2
( 3)成立.
注
①此定理对于数列同样成立
②此定理证明的基本原则：
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x )
③(1),(2)可推广到任意有限个具有极限的函数
但 y( xk ) 2k sin 2k 0 M . 不是无穷大量．
1 例 证明 lim . x 1 x 1
证 M 0. 要使 1 M , x 1
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
( 2)成立.
f ( x ) A A A B A B A 0. g ( x ) B B B B( B )
又 0, B 0, 0, 当0 x x0 时,
B , 2
1 1 B B B B B 2 2
x x0
f ( x ) A ( x ).
充分性 设 f ( x ) A ( x ),
其中 ( x )是当x x0时的无穷小 ,
则 lim f ( x ) lim ( A ( x )) A lim ( x ) A.
x x0 x x0
x x0
~ o( )
α与β互为主要部分
1 2 cos x 1 x o( x 2 ). 2
例如, sin x x o( x ),
补充
高阶无穷小的运算规律 (1). o( x m ) o( x n ) o( x k )
其中k min{m , n}
取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x0 时, 恒有 u u M , M 当x x0时, u 为无穷小.
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小量的 乘积是无穷小量. 推论2 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.
推论3 有限个无穷小量的乘积也是无穷小量.
1 函数 是当x 时的无穷小 . x
n ( 1) n ( 1 ) lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
注意 1.称函数为无穷小量，必须指明自变量的 变化过程； 2.无穷小量是变量,不能与很小的数混淆; 3.零是可以作为无穷小量的唯一的常值函数.
证 设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M .
又设是当x x0时的无穷小 ,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M
3.5 无穷小量与无穷大量
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小量。
一、无穷小量
在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有 理论价值，值得我们单独给出定义
证 lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
f ( x ) A ,
g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立. [ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB ( A B ) 0.
值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) M , 则称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷大量, 记作
x x0
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x
特殊情形：正无穷大量，负无穷大量．
x x0 ( x )
(2). o( x ) o( x ) o( x
m n
o( x
m n
n
m n
n
)
(4). ( x ) o( x ) o( x ) 其中 ( x )为有界
五、等价无穷小量替换
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在, 则 lim lim .
(1) 取 x 0 1 ( k 0,1,2,3,)