则 E[g(X,Y )]
g( xi , yj ) pij
ij
若(X,Y)为连续型随机变量,(X,Y)~f(x,y),
则
E[g( X ,Y )]
g( x, y) f ( x, y)dxdy
性质1 若随机变量(X,Y)数学期望存在，则有
E(X Y ) E(X ) E(Y )
性质2 若随机变量相互独立且它们的数学期望 都存在，则有
解：由已知EX=0, 即EXE(cosX)=0.
1
又E( X cos X )
2 1
x
cos
xf
(
x)dx
2
1
2 1
x
cos
xdx
0
2
即EXEY=E(XY), 所以cov(X,Y)=0.
而Y是X的函数，即X和Y不独立 .
D(X+Y)=E[(X+Y)-E(X+Y)]2 =E[(X-EX)+(Y-EY)]2 =E(X-EX)2+E(Y-EY)2+2E[(X-EX)(Y-EY)] =DX+DY+ 2E[(X-EX)(Y-EY)]
第四节 多维随机变量的特征数
一、二维随机变量的数学期望 定义: 对于二维随机变量(X，Y),称数值向量(EX,EY)
为(X，Y)的数学期望.
定理 设g(X,Y)为随机变量X,Y的函数,且E[g(X,Y)]存在,
若(X,Y)为离散型随机变量,P(X=xi,Y=yj)=pij ,(i,j=1,2…),
(1)Z=X+Y 的概率密度;(2)求Z=X-Y 的概率密度.
解 (1) Z=X+Y~N(0,2)
(2)
由定理1， Y ~ fY ( y)
1
( y)2
e 2 y
2
即 Z=X-Y~N(0,2)
一般地，若X1~N(μ1,σ12), X2~N(μ2,σ22), X1,X2 独立,则
k1X1+k2X2~N(k1μ1+ k2μ2, k12σ12+k22σ22)
X,Y独立 D(X+Y)=DX+DY
同理可证: D(X-Y)=DX+DY- 2E[(X-EX)(Y-EY)]
三、相关系数
1、定义: 设DX>0, DY>0,称
XY
cov( X ,Y ) D( X )D(Y )
为随机变量X和Y的相关系数 .
在不致引起混淆时，记 XY为 .
x yz
fZ (z) F (z) f ( x, z x)dx
fX ( x) fY (z x)dx
例2.设随机变量X与Y 独立,X～U(0,1),Y～E(1). 试求
(1) (X,Y)的联合密度函数;(2) Z=X+Y 的概率密度函数.
解:
1 0 x 1
X ~ fX ( x) 0 其它
{X
i,Y
k i}
k
i0
P{X i,Y k i}
i0
k
P{ X i}P{Y k i}
i0
k
p(i)q(k i)
i0
此结果通常称为离散型卷积公式.
两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量.
即:若X,Y 独立，X~fX(x),Y~fY(y),Z=X+Y ,则 卷
pk
(1
p)n1 n2 k
所以Y=X1+X2服二从项二分项布分的布可B加(n性1+n2 ,p)
一般的，设X ,Y相互独立，其概率分布为：
P( X i) p(i); P(Y j) q( j) i, j 0,1, 2,L
则Z X Y的概率分布为：
P ( Z
k) P(X Y
k
)
P
k
e y y 0
Y
~
fY
(
y)
0
y0
(1)
e y
(X,Y )~f(x,y)=fX(x)fY(y)=
0
0 x 1, y 0 其它
(2)
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
0
z e(z x)dx
0
1 e(z x)dx
0
z≤0
0 z 1 z1
0 x1
0 z x
0 z x y
3、 协方差的计算 由协方差的定义及期望的性质，可得
cov(X,Y)=E[ (X-EX)(Y-EY) ] =E(XY)-EXEY-EYEX+EXEY =E(XY)-EXEY
即 cov(X,Y)=E(XY) -EXEY
可见，若X与Y独立， cov(X,Y)= 0 . 反之不成立.
例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布,且 Y=cos X, 求X,Y的协方差.
E(XY ) E(X )E(Y )
二、协方差 1、定义 任意两个随机变量X和Y的协方差,记为
cov(X,Y), 定义为 cov(X,Y)=E[ (X-EX)(Y-EY) ]
2、简单性质 ⑴ cov(X,Y)= cov(Y,X) ⑵ cov(aX,bY) = ab cov(X,Y) a,b是常数
⑶ cov(X1+X2,Y)= cov(X1,Y) + cov(X2,Y)
k1 k2 k
C k1 n1
pk1 (1
p) C n1 k1 k2 n2
pk2 (1
p)n2 k2
k1 k2 k
C C k1 k2 n1 n2
pk (1
p)n1 n2 k
k1 k2 k
由
C C k1 k2 n1 n2
k1 k2 k
C 得 k n1 n2
P(Y
k)
Ck n1 n2
积
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx fX (z y) fY ( y)dy 公
式
FZ (z) P{X Y z} f ( x, y)dxdy
x yz
z x
y u- x
dx f ( x, y)dy
z
dx f ( x, u x)du
z
[ f ( x, u x)dx]du
z
0
z0
即: fZ (z) 1 ez
0 z 1
(e 1)ez z 1 1
x
01
正态分布的可加性 两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布. 即:若X1~N(μ1,σ12), X2~N(μ2,σ22), X1,X2独立,则
X1+X2~N(μ1+ μ2,σ12+ σ22) 例3. 设X和Y 独立且同为标准正态分布N(0,1),
第三节 多维随机变量函数的分布
——— 二维随机变量函数的分布
例1.设随机变量X1与X2相互独立，分别服从二项分布 B(n1,p)和B(n2,p)，求Y =X1+X2的概率分布.
解 依题知X+Y 的可能取值为k= 0,1,2,...,n1+n2， 由X1与X2的独立性有
P(Y k)
P( X1 k1 , X 2 k2 )