沈阳市郊联体2020-2021学年度高一上学期期末考试试题数 学考试时间：120分钟 试卷总分：150分注意事项：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷组成.第Ⅰ卷为选择题，一律答在答题卡上；第Ⅱ卷为非选择题，按要求答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（选择题60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分） 1. 已知向量()1,2a =，()6,b k =-，若//a b ，则k =（ ） A. -12B. 12C. 3D. -32. 疫情期间，各地教育部门及学校为了让学生在家中学习之外可以更好地参与活动，同时也可以增进与家人之间的情感交流，鼓励学生在家多做家务运动，因为中学生在家务劳动中能更密切地与家人接触交流，也可缓解压力、休息大脑.经调查，某校学生有70%的学生认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽，30%的学生认为自己是否参与家务劳动对家庭关系无影响.现为了调查学生参加家务劳动时长情况，决定在两类同学中利用分层抽样的方法抽取100名同学参与调查，那么需要抽取认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学的个数是（ ） A. 30B. 70C. 80D. 1003. 从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）A. “至少一个白球”和“都是红球”B. “至少一个白球”和“至少一个红球”C. “恰有一个白球”和“恰有一个红球”D. “恰有一个白球”和“都是红球” 4. 在同一直角坐标系中，函数()()0af x xx =≥，()log a g x x =的图像可能是（ ）A. B. C. D.5. 函数()2()ln 1f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A. ()0,1B. ()1,2C. ()2,eD. ()3,46. 已知0.13a =，()30.9b =，2log 0.2c =，则（ ） A. a b c <<B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<7. 某校有900名高三学生参加了本次考试，为了了解该校学生解答该选做题的得分情况，计划从900名考生的选做题成绩中随机抽取一个容量为8的样本，为此将900名考生选做题的成绩按照随机顺序依次编号为001，002，003……899，900.若采用随机数表法抽样，并按照以下随机数表进行读取，从第一行的第5个数开始，从左向右依次读取数据，每次读取三位随机数，一行读数用完之后接下一行左端.则样本编号的75%分位数为（ ）05 26 93 70 60 22 35 85 58 51 51 03 51 59 77 59 56 78 06 83 52 91 05 70 74 07 97 10 88 23 09 98 42 99 64 61 71 62 99 15 06 51 29 16 93 58 05 77 09 51 51 26 87 85 85 54 87 66 47 54 73 32 08 11 12 44 95 92 63 16 29 56 24 29 48 A. 680B. 585C. 467D. 1598. 区块链，是比特币的一个重要概念，它本质上是一个去中心化的数据库，同时作为比特币的底层技术，是一串使用密码学方法相关联产生的数据块，每一个数据块中包含了一批次比特币网络交易的信息，用于验证其信息的有效性（防伪）和生成下一个区块.在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有2562种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行2562次哈希运算.现在有一台机器，每秒能进行112.510⨯次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（ ）（参考数据lg 20.3010≈，lg30.477≈） A. 734.510⨯秒B. 654.510⨯秒C. 74.510⨯秒D. 28秒二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）9. 在疫情防护知识竞赛中，对某校的2000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是（ ）A. 成绩在[)70,80的考生人数最多B. 不及格的考生人数为500C. 考生竞赛成绩的众数为75分D. 考生竞赛成绩的中位数约为75分 10. 下列有关向量命题，不正确的是（ ）A. 若{},a b 是平面向量的一组基底，则{}2,2a b a b --+也是平面向量的一组基底 B. a ，b ，c 均为非零向量，若//a b ，//b c ，则//a c C. 若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ= D. 若1a =，6b =，则a b +的取值范围[]5,711. 已知函数2()4xf x x a =++，下列命题正确的有（ ）A. 对于任意实数a ，()f x 为偶函数B. 对于任意实数a ，()0f x >C. 存在实数a ，()f x 在(),1-∞-上单调递减D. 存在实数a ，使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞12. 直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，（0m >，0n >），则下列结论正确的是（ ）A.12m n+为常数B. 2m n +的最小值为3C. m n +的最小值为169 D. m 、n 的值可以为：12m =，2n = 第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4个小题.每小题5分，共20分）13. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则x y +的值为_________.14. 已知()y f x =是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，若()0x f x ⋅≥，则x 的取值范围是________. 15.求值：23lg121812log lg1)427100-⎛⎫-++= ⎪⎝⎭________. 16. 已知函数21221(0)()log (0)x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则a 的最小值是________，()41223416x x x x x ⋅++⋅的最大值是__________. 四、解答题：本大题共6个小题.共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为0.8，乙破译密码的概率为0.7，记事件A ：甲破译密码，事件B ：乙破译密码.（Ⅰ）求甲、乙二人都破译密码的概率； （Ⅱ）求恰有一人破译密码的概率；（Ⅲ）某同学在解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为A B +，所以()()()0.80.7 1.5P A B P A P B +=+=+=请指出该同学错误的原因？并给出正确解答过程.18. 已知集合1284x A x⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，{}22210B x x mx m =-+-<，{}2C x x m =-<. （Ⅰ）若2m =，求集合A B ；（Ⅱ）在B ，C 两个集合中任选一个，补充在下面问题中，命题p ：x A ∈，命题q ：x ∈________，求使p 是q 的必要非充分条件的m 的取值范围.19. 工厂质检员从生产线上每半个小时抽取一件产品并对其某个质量指标Y 进行检测，一共抽取了36件产品，并得到如表统计表，该厂生产的产品在一年内所需的维护次数与指标Y 有关，具体见表.（Ⅰ）每组数据取区间的中点值，用上述样本数据估计该厂产品的质量指标Y 的平均值（保留两位小数）； （Ⅱ）用分层抽样的方法从上述样本中先抽取6件产品，再从6件产品中随机抽取2件产品，求这2件产品的指标至少有一个在[)10.2,10.6内的概率；（Ⅲ）已知该厂产品的维护费用为200元/次，工厂现推出一项服务：若消费者在购买该厂产品时每件多加50元，该产品即可一年内免费维修一次，将每件产品的购买支出和一年的维护支出之和称为消费费用，假设这36件产品每件都购买该服务，或者每件都不购买该服务，就这两种情况分别计算每件产品的平均消费费用，并以此为决策依据，判断消费者在购买每件产品时是否值得购买这项维护服务？ 20. 如图，在OAB △中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足13AP AB =，Q 是OB 中点.（Ⅰ）若()0,0O ，()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且13ON OA =，求NQ 的坐标和模？ （Ⅱ）若AQ 与OP 的交点为M ，又OM tOP =，求实数t 的值. 21. 已知函数()33()log 3log 9a xf x x =⋅（常数a R ∈）. （Ⅰ）当0a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（Ⅱ）当1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值.22. 已知函数()()2()log 0f x x a a =+>.当点(),M x y 在函数()y g x =图象上运动时，对应的点()3,2N x y 在函数()y f x =图象上运动，则称函数()y g x =是函数()y f x =的相关函数.（Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x <；（Ⅱ）对任意的()0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方，求a 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x g x =-，()0,1x ∈.当1a =时，求()F x 的最大值.沈阳市郊联体2020－2021学年第一学期期末测试高一数学试卷标准答案一、【单项选择题】 1-5：ABDDB 6-8：CAB【详细解答】1、由题意，因为()1,2a =，()6,b k =-，且//a b ，所以12k =-，故选A ；2、因为在总体中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学有70%，所以在样本中认为自己参与家务劳动能使家庭关系更融洽的同学应抽取10070%70⨯=人， 故选B ；3、A 选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，也是对立事件；B 选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；C 选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”同样有可能都表示一个白球，一个红球，故不是互斥事件；D 选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件；可知只有D 正确； 4、函数()0ay xx =≥与()log 0a y x x =>，选项A 中没有幂函数图像； 选项B 中()0ay x x =≥中1a >，()log 0a y x x =>中01a <<，不符合； 选项C 中()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中1a >，不符合；选项D 中()0ay xx =≥中01a <<，()log 0a y x x =>中01a <<，符合，故选D ；5、考察零点的存在性定理，由于2()ln(1)f x x x=+-，可知()f x 在()0,+∞单调递增， 依次带入数值：()1ln 220f =-<，()2ln310f =->，可知存在()01,2x ∈，使得()00f x =. 故选B ；6、0.10331a =>=，30(0.9)1<<，22log 0.2log 10c =<=， 所以c b a <<，故选C.7、由已知，从第一行的第5个数开始，即从数字“9”开始，每次选取三位数进行抽取：937（超范围，剔除），060（保留），223（保留），585（保留），585（重复，剔除），151（保留），035（保留），159（保留），775（保留），956（超范围，剔除），780（保留） 故留下的8个编号为：060，223，585，151，035，159，775，780， 按从小到大的顺序进行排序为：035，060，151，159，223，585，775，780， 因为数据的个数为8，而且875%6⨯=，所以样本编号的75%分位数为5857756802+=，故选A 8、设这台机器破译密码所需时间大约为x 秒，则112562.5102x ⨯⨯=， 两边同时取以10为底的对数可得：()11256lg 2.510lg 2x ⨯⨯=， 即lg 12lg 211256lg 2lg 258lg 21265.658x x +-+=⇒=-≈， 可得65.658650.658101010x ≈=⨯，又9lg 4.5lg2lg3lg 20.6532==-≈， 所以0.65810可以近似表示为4.5，故654.510x ≈⨯，故选B 二、【多项选择题】9、AC 10、AC 11、ACD 12、ABD 【详细解答】9、由频率分布直方图可知，成绩在[]70,80的频率最大，因此成绩分布在此的考生人数最多，故A 正确；成绩在[]40,60的频率为0.005100.015100.2⨯+⨯=，故不及格的人数为20000.2400⨯=，故B 不正确；成绩在[]70,80的频率最大，故众数为75，故C 正确；成绩在[]40,70的频率和为0.4，所以中位数为0.1701073.330.3+⨯≈，故D 错误；故选AC 10、由基底向量的概念，()22a b a b -=--，两向量平行，不能做基底，故A 错误；由于a ，b ，c 均为非零向量，所以//a b ，//b c ，则a 一定平行于c ，B 正确；若//a b ，使得a b λ=，要强调0b ≠，C 错误；由定义可知，D 选项正确. 故选不正确的为AC.11、函数2()4x f x x a =++，①对于选项A ：由于x R ∈，且()()f x f x -=，故函数()f x 为偶函数.故选项A 正确. ②对于选项B ：当0x =时2a =-时，()0f x <，故选项B 错误.③对于选项C ：由于函数()f x 的图象关于y 轴对称，在0x >时，函数为单调递增函数，在0x <时，函数为单调递减函数，故()f x 在(),1-∞-上单调递减，故选项C 正确.④对于选项D ：由于函数的图象关于y 轴对称，且在0x >时，函数为单调递增函数，在0x <时，函数为单调递减函数，故存在实数0a =时， 使得关于x 的不等式()5f x ≥的解集为(][),11,-∞-+∞，故选项D 正确. 故选ACD.12、P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，则1233AP AB AC =+， 若AM mAB =，AN nAC =，则1233AP AM AN m n =+，又由M 、P 、N 三点共线，则12133m n+=，可得123m n +=；故12m n+为常数，故A 正确；对于B ，1121222(2)533m n m n m n m n n m ⎛⎫⎡⎤+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦15233⎡≥+=⎢⎣，当且仅当22m nn m=，即1m n ==时等号成立，则2m n +的最小值为3，故B 正确；对于C ，11212()333m n m n m n m n n m ⎛⎫⎡⎤+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦132133⎡≥+=+⎢⎣， 当且仅当2n m =时等号成立，故C错误；对于D ，当12m =，2n =，满足123m n +=，此时M 为AB 的中点，C 为AN 的中点，符合题意，故D 正确；故选ABD.三、【填空题】13、13 14、(][),22,-∞-+∞【写成2x ≤-或2x ≥或集合也给满分】15、-3 16、1；4【第一空2分，第二空3分】 【详细解答】 13、由题意可得79788280858694968688x x ++++++++=⇒=81808352yy ++=⇒=，所以13x y +=. 14、由题意画图，当2x ≥时，()0f x ≥，故()0x f x ⋅≥成立； 当02x <<时，()0f x <，故()0x f x ⋅<不成立； 当20x -<<时，()0f x >，故()0x f x ⋅<不成立； 当2x ≤-时，()0f x ≤，故()0x f x ⋅≥成立； 综上，x 的取值范围是：2x ≤-或2x ≥. 15、23lg121812log lg1)427100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭1921344=--+=-. 故答案为-3.16、画出21221(0)()log (0)x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩的图像有：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，故()f x 的图像与y a =有四个不同的交点，又由图，()01f =，()12f -=，故a 的取值范围是[)1,2，故a 的最小值是1.又由图可知，1212122x x x x =-⇒+=-+，0.530.54log log x x =，故0.530.540.534log log log 0x x x x =-⇒=，故341x x =， 故()4124234416162x x x x x x x ⋅++=-⋅+. 又当1a =时，0.544log 12x x -=⇒=.当2a =时，0.544log 24x x -=⇒=， 故[)42,4x ∈.又44162y x x +=-在[)42,4x ∈时为减函数，故当42x =时，44162y x x +=-取最大值162242y +=-⨯=. 四、【解答题】【详细答案】 17、【解析】（Ⅰ）由题意可知()0.8P A =，()0.7P B =，且事件A ，B 相互独立， 事件“甲、乙二人都破译密码”可表示为AB ， 所以()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=；（Ⅱ）事件“恰有一人破译密码”可表示为AB AB +，且AB ，AB 互斥， 所以()()()P AB AB P AB P AB +=+()()()()P A P B P A P B =+0.20.70.80.30.38=⨯+⨯=.（Ⅲ）错误原因：事件A ，B 不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式. 正确解答过程如下：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”， 可以表示为AB AB AB ++，且AB ，AB ，AB 两两互斥，所以()()()()P AB AB AB P AB P AB P AB ++=++()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++0.20.70.80.30.80.70.94=⨯+⨯+⨯=.【※注意※】记C =“甲、乙二人中至少有一人破译密码”，所以()()()()1110.20.30.94P C P AB P A P B =-=-⋅=-⨯=. 18、【解析】（Ⅰ）由已知，将2m =代入22210x mx m -+-<，可得2430x x -+< ，解得13x <<，即{|13}B x x =<<.又{}231282224x x A x A x -⎧⎫=<≤⇒=<≤⎨⎬⎩⎭{}23A x x ⇒=-<≤， 所以{}13AB x x =<<.（Ⅱ）若选B ：由22210x mx m -+-<，得[][](1)(1)0x m x m ---+<， ∴11m x m -<<+，∴{}|11B x m x m =-<<+， 由p 是q 的必要非充分条件，得集合B 是集合A 的真子集， ∴1213m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得12m -≤≤，若选C ：由2x m -<，得22m x m -<<+， ∴{}|22C x m x m =-<<+，由p 是q 的必要非充分条件，得集合C 是集合A 的真子集，∴2223m m -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01m ≤≤. 19、【解析】解：（Ⅰ）指标Y 的平均值为：10610.41810.812376.810.473636Y ⨯+⨯+⨯==≈.（Ⅱ）由分层抽样方法知：先抽取的6件产品中，指标Y 在[)9.8,10.2的有1件，记为A ，在[)10.2,10.6的有3件，记为1B ，2B ，3B ，在[]10.6,11.0的有2件，记为1C ，2C ， 从6件中随机抽取2件，共有15个基本事件分别为：()1,A B ，()2,A B ，()3,A B ，()1,A C ，()2,A C ，()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()31,B C ，()32,B C ，()12,C C ，其中满足条件的基本事件有12个，分别为：()1,A B ，()2,A B ，()3,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()11,B C ，()12,B C ，()23,B B ，()21,B C ，()22,B C ，()31,B C ，()32,B C ，所以这2件产品的指标至少有一个在[)10.2,10.6内的概率为：124155P ==. （Ⅲ）设每件产品的售价为x 元，假设这36件产品每件都不购买服务，则平均每件产品的消费费用为：1400(36640012200)363s x x =+⨯+⨯=+（元）， 假设这36件产品每件都购买该服务，则平均每件产品的消费费用为：[]125040036(50)62003633s x x x =++⨯=+<+， 所以该服务值得消费者购买. ………12分 20、【解析】解：（Ⅰ）根据题意，Q 是OB 中点，即12OQ OB =，又13ON OA =，且()1,3A ，,03B 8⎛⎫⎪⎝⎭， 可知4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,11,13ON NQ OQ ON ⎛⎫=⇒=-=- ⎪⎝⎭，且21NQ ==.（Ⅱ）如图因为13AP AB =， 所以()13OP OA OB OA -=-，可以化简为：2133OP OA OB =+，又OM tOP =，所以2123333tt OM tOP t OA OB OA OB ⎛⎫==+=+⎪⎝⎭①不妨再设AM AQ μ=，即()()1OM OA OQ OA OM OA OQ μμμ-=-⇒=-+， 由Q 是OB 的中点，所以12OQ OB =， 即()12OM OA OB μμ=-+②由①②，可得213t μ-=，3234t t μ=⇒=. 【※注意※】若学生在处理21222333333tt t t OM tOP t OA OB OA OB OA OQ ⎛⎫==+=+=+⎪⎝⎭，直接由A ，M ，Q 三点共线，即2231334t t t +=⇒=，扣除2分，若能证明共线的条件，则不扣分. 21、【解析】解：（Ⅰ）当0a =时，()33()log log 2f x x x =⋅-，由()0f x ≤得()33()log log 2f x x x =⋅-，即：33330log 2log 1log log 9x x ≤≤⇒≤≤，解得：19x ≤≤， 所以()0f x ≤的解集为{}19x x ≤≤. （2）()()()333333()log 3log log 3log log log 99aa xf x x x x =⋅=+⋅- ()()33log log 2x a x =+⋅-()233log (2)log 2x a x a =+-⋅-.令3log u x =，因为1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]2,3u ∈-，若求()f x 在1,279x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值，即求函数2()(2)2g u u a u a =+-⋅-在[]2,3u ∈-上的最小值，222(2)()24a a g u u -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭时，[]2,3u ∈-，对称轴为22a x -=. ①当232ax -=≥时，即4a ≤-时， 函数()g u 在[]2,3-为减函数，所以min ()(3)3g u g a ==+； ②当2232a--<<时，即46a -<<时， 函数()g u 在32,2a -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为减函数，在3,32a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，所以2min2(2)()24a a g u g -+⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ③当222ax -=≤-，即6a ≥时， 函数()g u 在[]2,3-为增函数，min ()(2)84g u g a =-=-.综上，当4a ≤-时，()f x 的最小值为3a +；当46a -<<时，()f x 的最小值为()224a +-；当6a ≥时，()f x 的最小值为84a -.22、【解析】解：（Ⅰ）依题意，20log ()1x a x a +>⎧⎨+<⎩，则02x a x a +>⎧⎨+<⎩，解得2a x a -<<-，所求不等式的解集为(),2a a --.（Ⅱ）由题意，()22log 3y x a =+，即()f x 的相关函数为()21()log 32g x x a =+， 由已知，对任意的()0,1x ∈，()f x 的图象总在其相关函数图象的下方， 所以当()0,1x ∈时，221()()log ()log (3)02f xg x x a x a -=+-+<恒成立， 由0x a +>，30x a +>，0a >得3a x >-， 在此条件下，即()0,1x ∈时，222log ()log (3)x a x a +<+恒成立，即()23x a x a +<+，即()22230x a x a a +-+-<在()0,1上恒成立，所以2201230a a a a a ⎧-≤⎨+-+-≤⎩，解得01a <≤， 故实数a 的取值范围为(]0,1.（Ⅲ）当1a =时，由（Ⅱ）知在区间()0,1上，()()f x g x <， 所以()22131()()()()()log 21x F x f x g x g x f x x +=-=-=+，令231(1)x t x +=+，(0,1)x ∈，则21(1)31x t x +=+，令31(1,4)x μ=+∈，则13x μ-=，所以2211418344999t μμμμ+⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭==++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当且仅当13x =时取等号， 所以()F x 的最大值为22193log log 3282=-.。