辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题考试时间:120分钟 试卷总分:150分注意事项:本试卷由第I 卷和第II 卷两部分组成。
第I 卷和第II 卷选择题部分,一律用2B 铅笔按题号依次填涂在答题卡上;第I 卷和第II 卷非选择题部分,按要求答在答题卡相应位置上。
一、选择题:(本大题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A ={-2,-1,0,1,2),B ={x|log 2x<2},则A∩B =A.{2}B.{1,2}C.{0,1,2}D.(-2,-1,0,1,2)2.若复数z =(m +1)+(2-m)i(m ∈R)是纯虚数,则63i z += A.5 B.3 C.5 D.353.在△ABC 中,能使sinA>32成立的充分不必要条件是 A.(0,3π) B.(3π,2π) C.(3π,23π) D.(2π,56π) 4.边长为6的等边△ABC 中,D 是线段BC 上的点,BD =4,则AB AD ⋅=A.48B.30C.24D.125.已知等比数列{a n }满足a 1=3,a 1+a 3+a 5=21,则a 5+a 7+a 9=A.21B.42C.63D.846.函数f(x)=cosx·ln(21x +-x)(-2≤x≤2)的图象大致为7.己知f(x)=1-21x a +是定义域为R 的奇函数,且对任意实数x ,都有f(x 2-mx +2)>13,则m 的取值范围是 A.m>2 B.0<m<2 C.-4<m<4 D.-2<m<28.已知曲线C :y =832x e +,P 为曲线C 上任意一点,设曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是A.[23π,π)B.[3π,2π)C.(2π,23π]D.(0,3π] 二、多项选择题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的。
全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.下列说法中正确的有A.存在a ,使得不等式a +1a≤2成立 B.不等式a +b≥2ab 恒成立 C.若a ,b ∈(0,+∞),则b a a b +≥2 D.若正实数x ,y 满足x +2y =1,则21x y+≥8 10.函数y =Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,则A.该函数的解析式为y =2sin(23x +3π) B.该函数的单调递增区间是[3kπ-54π,3k π+4π],k ∈z C.该函数的对称中心为(k π-3π,0),k ∈z D.把函数y =2sin(x +3π)的图象上所有点的横坐标变为原来的32倍,纵坐标不变可得到该函数图象 11.已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=|b |=|c |=1.若a ·b =12,则(a -b )·(2b -c )的值可能为 A.3-3 B.-2 C.0 D.-212.已知函数f(x)=()lnx 0x e f 2e x e x 2e⎧<≤⎪⎨−<<⎪⎩,,,若函数F(x)=f(x)-ax 有4个零点,则a 的可能的值为A.1eB.12C.13D.14第II 卷(共90分)三、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
把答案填在答题纸上。
)13.已知a i 3j =+,b 2i =,其中i ,j 是互相垂直的单位向量,则|a -2b |= 。
14.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=3,S 3=6,则数列n 1S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前50项的和为: 。
15.已知函数y =f(x)是定义在R 上的奇函数,且满足f(x +2)=f(x),又当x ∈(0,1)时,f(x)=2x -1,则f(12log 7)的值等于 。
16.自古以来,人们对于崇山峻岭都心存敬畏,同时感慨大自然的鬼斧神工,一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》:“岱宗夫如何?齐鲁青未了。
造化钟神秀,阴阳割昏晓,荡胸生层云,决毗入归鸟。
会当凌绝顶,一览众山小。
”然而,随着技术手段的发展,山高路远便不再阻碍人们出行,伟大领袖毛主席曾作词:“一桥飞架南北,天堑变通途”。
在科技腾飞的当下,路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行,如港珠澳跨海大桥等。
如图为某工程队将A 到D 修建一条隧道,测量员测得一些数据如图所示(A ,B ,C ,D 在同一水平面内),则A ,D 间的距离为 。
四、解答题:(满分70分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,解答过程书写在答题纸的对应位置)17.(本小题满分10分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cosC(acosB +bcosA)=c 。
(1)求C :(2)若c 7,△ABC 33ABC 的周长。
18.(本小题满分12分)已知数列{b n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2+n ,在等比数列{a n }中,a 1=b 1,a 4=b 8。
(I)求{b n }与{a n }的通项公式;(II)若{b n }中去掉{a n }的项后余下的项按原顺序组成数列{c n },求{c n }的前20项和。
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin ωx ,ω>0。
(1)f(x)的周期是4π,求ω,并求f(x)=12的解集;(2)已物ω=1,2()()()()2g x f x x f x π=−−,x ∈[0,4π],求g(x)的值域。
20.(本小题满分12分) 己知数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n +3·2n +1。
(1)设b n =n 2na ,证明数列{b n }是等差数列,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和S n 。
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2xax x 1e +−。
(1)求曲线y =f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0。
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x 2lnx -13ax 3-32x 2。
(1)若函数y =f(x)在定义域上单调递减,求实数a 的取值范围;(2)设函数f(x)有两个极值点x 1,x 2,求证:ln(x 1x 2)>4。
辽宁省沈阳市郊联体2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题答案一、选择题:B A BCD C D A二、多项选择题:ACD ABD BCD CD三、填空题:13、32 14、51100 15、-0.75 16、km 四、解答题: 17、(本题满分10分)解:(Ⅰ)∵在△ABC 中,0<C <π,∴sinC ≠0已知等式利用正弦定理化简得:2cosC (sinAcosB+sinBcosA )=sinC ,整理得:2cosCsin (A+B )=sinC ,即2cosCsin (π﹣(A+B ))=sinC2cosCsinC=sinC∴cosC=,……………3分 ∵0<c <π∴C=;……………5分(2)因为△ABC 的面积S ===, 所以ab =6,…………7分由余弦定理可得,c 2=a 2+b 2﹣2ab cos C =(a +b )2﹣3ab =7,所以a +b =5…………9分△ABC 的周长a +b +c =.…………10分18、(本小题满分12分)解:(Ⅰ)∵, ∴当n ≥2且n ∈N *时b n =S n ﹣S n ﹣1=2n .…………2分又b 1=S 1=2也符合上式,∴b n =2n .…………3分∵a1=b1=2,a4=b8=16,∴等比数列{a n}的公比为2,∴.…………6分(Ⅱ)∵a1=2,a2=4,a3=8,a4=16,a5=32,b25=50,∴c1+c2+…+c20=(b1+b2+…+b25)﹣(a1+a2+…+a5)…………9分===650﹣62=588.…………12分19、(本题满分12分)解:(1)由于f(x)的周期是4π,所以ω=,…………1分所以f(x)=sin.令sin,故或,…………3分整理得或.…………4分故解集为{x|或,k∈Z}.…………5分(2)由于ω=1,所以f(x)=sin x.所以g(x)===﹣=﹣sin(2x+).…………8分由于x∈[0,],所以.,故,…………10分故.所以函数g(x)的值域为[﹣.…………12分20.(本小题满分12分)解:(1)证明:将两边同时除以2n+1得,,……3分即b n+1﹣b n=3,又a1=2,故数列{b n}是以1为首项,3为公差的等差数列…………4分得b n=3n﹣2,即.…………6分(2)S n=1•2+4•22+…+(3n﹣2)•2n,①则2S n=1•22+4•23+…+(3n﹣2)•2n+1,②…………7分①②相减得﹣S n=2+3(22+…+2n)﹣(3n﹣2)•2n+1…………8分=2+3•﹣(3n﹣2)•2n+1,…………10分化简得.…………12分21.(本小题满分12分)解:(1)=﹣.∴f′(0)=2,即曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线斜率k=2,…………2分∴曲线y=f(x)在点(0,﹣1)处的切线方程方程为y﹣(﹣1)=2x.即2x﹣y﹣1=0为所求.…………4分(2)证明:函数f(x)的定义域为:R,可得=﹣.…………5分令f′(x)=0,可得,当x时,f′(x)<0,x时,f′(x)>0,x∈(2,+∞)时,f′(x)<0.∴f(x)在(﹣),(2,+∞)递减,在(﹣,2)递增,…………7分注意到a≥1时,函数g(x)=ax2+x﹣1在(2,+∞)单调递增,且g(2)=4a+1>0函数f(x)的图象如下:∵a≥1,∴,则≥﹣e,…………11分∴f(x)≥﹣e,∴当a≥1时,f(x)+e≥0.…………12分22、(本题满分12分)解:(1)由题意得f′(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,∵f′(x)=2xlnx+x﹣ax2﹣3x=x(2lnx﹣ax﹣2),∴2lnx﹣2﹣ax≤0在(0,+∞)恒成立,…………1分即a≥在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=,则g′(x)=,…………2分∴当x∈(0,e2)时,g′(x)>0,此时函数g(x)递增,当x∈(e2,+∞)时,g′(x)<0,此时函数g(x)递减,故当x=e2时,函数g(x)有极大值,也是最大值,…………3分故a≥g(e2)=,故实数a的取值范围是[,+∞);…………4分(2)证明:由(1)知,f′(x)=x(2lnx﹣ax﹣2),则,故2ln(x1x2)=a(x1+x2)+4,2ln=a(x1﹣x2),…………6分故2ln(x1x2)=(x1+x2)+4,…………7分∵x1≠x2,∴令x1>x2,=t,…………8分则ln(x1x2)=lnt+2,令h(t)=lnt+2,(t>1),要证h(t)>4在(1,+∞)上恒成立,即证(t+1)lnt﹣2t+2>0,…………9分令F(t)=(t+1)lnt﹣2t+2,则F′(t)=lnt+﹣1,则F″(t)=﹣=>0,故F′(t)在(1,+∞)递增,…………11分∴F′(t)>F′(1)=0,F(t)在(1,+∞)递增,从而F(t)>F(1)=0,即原不等式成立.…………12分。