1 / 4 函数奇偶性
知识梳理
1. 奇函数、偶函数的定义
（1）奇函数：设函数()yfx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有()()fxfx，
则这个函数叫奇函数.
（2）偶函数：设函数()yfx的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有()()fxfx，
则这个函数叫做偶函数.
（3）奇偶性：如果函数()fx是奇函数或偶函数，那么我们就说函数()fx具有奇偶性.
（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数.
注意：（1）奇函数若在0x时有定义，则(0)0f．
（2）若()0fx且()fx的定义域关于原点对称，则()fx既是奇函数又是偶函数．
2．奇(偶)函数的基本性质
(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．
(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．
3. 判断函数奇偶性的方法
（1）图像法
（2）定义法
○1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
○2 确定f(－x)与f(x)的关系；
○3 作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
例题精讲
【例1】若函数2()fxaxbx是偶函数，求b的值.
解：∵函数 f(x)＝ax2＋bx 是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)．∴ax2＋bx= ax2-bx.
∴2bx=0. ∴b＝0.
【例3】已知函数21()fxx在y轴左边的图象如下图所示，画出它右边的图象.
题型一 判断函数的奇偶性
【例4】判断下列函数的奇偶性.
（1）2()||(1)fxxx；
（2）1()fxxx； 2 / 4 （3）()|1||1|fxxx；
（4）()22fxxx；
（5）22()11fxxx
（6）22,0(),0xxxfxxxx
解：（1）2()||(1)fxxx的定义域为 R，关于原点对称．
∵22()||[()1]||(1)()fxxxxxfx
∴()()fxfx，即 ()fx是偶函数．
（2）1()fxxx的定义域为{|0}xx
由于定义域关于原点不对称
故()fx既不是奇函数也不是偶函数．
（3）()|1||1|fxxx的定义域为 R，关于原点对称．
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．
（4）()22fxxx的定义域为{2}，
由于定义域关于原点不对称，
故()fx既不是奇函数也不是偶函数．
（5）22()11fxxx的定义域为{1，－1}，
由(1)0f且(1)0f，所以()0fx
所以()fx图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称
故()fx既是奇函数又是偶函数．
（6）显然定义域关于原点对称．
当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)；
当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)．
即22(),0()(),0xxxfxxxx
即()()fxfx
∴()fx为奇函数．
题型二 利用函数的奇偶性求函数值
【例2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，f(3)＝2，求 f(－3)和f(0)的值.
解：∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，
∴f(－3)＝－f(3)＝－2，
f(0)＝0.
【例5】已知 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且 f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，求g(1).
解：由 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
得()()fxfx，()()gxgx
所以 －f(1)＋g(1)＝2 ① 3 / 4 f(1)＋g(1)＝4 ②
由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3.
题型三 利用函数的奇偶性求函数解析式
【例6】已知函数()fx是定义在 R 上的偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝x3－x2，
当 x>0 时，求f(x)的解析式.
解：当0x时，有0x
所以3232()()()fxxxxx
又因为()fx在 R 上为偶函数
所以32()()fxfxxx
所以当0x时，32()fxxx.
【例7】若定义在 R 上的偶函数()fx和奇函数()gx满足()()xfxgxe，求()gx.
解：因为()fx为偶函数，()gx为奇函数
所以()()fxfx，()()gxgx
因为()()xfxgxe ①
所以()()xfxgxe
所以()()xfxgxe ②
由①②式消去()fx，得()2xxeegx.
课堂练习
仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1. 函数()11fxxx是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
2.已知函数()fx为奇函数，且当0x时，21()fxxx，则(1)f（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-2
3. f(x)为偶函数，且当 x≥0 时，f(x)≥2，则当 x≤0时，有（ ）
A．f(x)≤2 B．f(x)≥2 C．f(x)≤－2 D.f(x)∈R
4. 已知函数y=f（x）是偶函数，y=f（x－2）在［0，2］上是单调减函数，则（ ）
A.f（0）＜f（－1）＜f（2） B.f（－1）＜f（0）＜f（2）
C.f（－1）＜f（2）＜f（0） D.f（2）＜f（－1）＜f（0）
5.已知函数f（x）=ax2＋bx＋c（a≠0）是偶函数，那么g（x）=ax3＋bx2＋cx是（ ）
A.奇函数 B.偶函数 C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数
6. 定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（－3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（ ）
A.（－3，0）∪（0，3） B.（－∞，－3）∪（3，+∞）
C.（－3，0）∪（3，+∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）
7. 若f(x)在[－5,5]上是奇函数，且f(3) A．f(－1) C．f(2)>f(3) D．f(－3) A．为减函数，最大值为3 B．为减函数，最小值为－3 C．为增函数，最大值为－3 D．为增函数，最小值为3 9.下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x^3 B．y＝－x^2＋1 C．y＝|x|＋1 D．y＝2－|x| 10.若函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝( ) A．1 B．－1 C．0 D．不存在 11.偶函数y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，则方程f(x)＝0的所有根之和为________． 12.如图，给出了偶函数y = f (x)的局部图象，试比较f (1)与 f (3) 的大小. 13. 已知函数()(0)pfxxmpx是奇函数，求m的值. 14. 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)，g(x)的表达式． 15.定义在(－1,1)上的奇函数f(x)是减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)<0，求实数a的取值范围． 16.函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25，求函数f(x)的解析式 17.判断函数1()(1)1xfxxx的奇偶性. x y O – 3 2 – 1