年级初一学科数学编稿老师郑如霞课程标题角的概念与运算一校林卉二校黄楠审核孙永涛一、考点突破本讲的内容是中考常考的内容，尤其是角的个数等内容是中考的热点。
较少单独命题，常以选择题和填空题的形式出现，而角平分线、余角、补角、方位角这几个知识点与其他知识综合，出现在解答题中。
主要考查以下内容：（1）角的概念及角的几种表示方法；（2）角的大小的比较方法；（3）角平分线的意义；（4）角的有关计算；（5）互为余角、互为补角的性质。
二、重难点提示重点：掌握角的和、差、倍、分关系，互为余角、互为补角的性质并进行计算。
难点：在未知图形的基础上建立讨论的思想解题。
能力提升类例1 如图，∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数？一点通：已知∠AOE和∠DOF的度数，又因为OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，所以可以利用转化的思想把角∠EOF转化成∠COE＋∠COF，再利用已知条件求解。
解：∵OE 平分∠DOC ，OF 平分∠AOC ，∴可设∠DOE ＝∠EOC ＝∠α，∠COF ＝∠FOA ＝∠β， 根据图形，∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝∠α＋∠β， 观察图形得，∠AOE ＝2∠β＋∠α＝100°①， ∠DOF ＝∠β＋2∠α＝80°②， ①＋②得，3（∠α＋∠β）＝180°。
∴∠α＋∠β＝60°。
即∠EOF ＝60°。
点评：由角平分线可以找出角之间的数量关系，本题的关键是如何利用角与角之间的关∵∠AOB ＝90°， ∴∠MON ＝45°。
（2）若∠AOB ＝α，有∠MON ＝21∠AOB ＝2 。
（3）由（1）、（2）的结论和（1）的解题过程，可以得出结论：∠MON 的大小与∠BOC的大小无关，它总等于∠AOB 的一半。
点评：结合图形，把图形语言转化为符号语言并写出相应的数量关系式是解题的关键。
综合运用类例4已知∠AOB、∠COD都是直角，（1）如图①，试猜想：∠AOD和∠BOC在数量上是否存在相等、互余或互补关系？并说明理由？（2）当∠COD绕点O旋转到如图②位置时，（1）中的猜想是否成立？一点通：根据图形，分别把∠AOB、∠COD用两个角的和表示出来，再判断∠AOD和∠BOC的关系。
解：（1）∠AOD与∠BOC互补。
∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠DOB＋∠BOC＋∠COA＋∠BOC＝180°，∴∠AOD＋∠BOC＝180°。
（2）结论不变∵∠AOB＋∠COD＝180°，∴∠DOC＋∠COB ＋∠BOA＋∠AOD＝360°，∴∠AOD＋∠BOC＝180°。
点评：求共顶点的若干个角中某个角的度数，关键是弄清已知角和所求角之间的和、差、倍、分的关系，从图形中挖掘条件。
例5直线AB、CD相交于点O，OF平分∠COD，∠AOE比∠EOD大30°，∠EOD比∠BOD大30°，（1）求∠AOE的度数；（2）写出∠BOD的所有补角和余角。
一点通：题目条件较多，先设未知数，列方程求出∠AOE的度数，再分别找出∠BOD 的补角和余角。
解：（1）设∠AOE＝x°，则∠DOE＝x－30°，∠BOD＝∠DOE－30°＝x－60°，由∠AOE＋∠DOE＋∠BOD＝180°，得x＋x－30°＋x－60°＝180°，解得x＝90°。
即∠AOE＝90°（2）∠BOD的余角有∠DOE、∠BOF。
∠BOD的补角有∠AOD、∠BOC、∠EOF。
点评：题中有两个角的大小关系时，可以考虑设未知数x，把每个角用x表达后，列方程求解。
例6 灯塔A在灯塔B的南偏东60°方向上，A、B相距30海里，轮船C在B的正南方向，在灯塔A的南偏西60°方向上，通过画图（用1个单位代表10海里）确定轮船C 的位置，求∠BAC和∠ACB的度数，并求出轮船C与灯塔B的距离。
一点通：分别以A、B为基点，根据已知，测量角度画出图形，分别求出∠BAC和∠ACB 的度数，并判断△ABC的形状。
解：根据已知，以B为基点，作∠CBA＝60°，以A为基点，作∠DAC＝60°，∴∠BAE＝30°，∠CAE＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴BC＝AB＝AC＝30海里所以轮船C与灯塔B的距离为30海里．点评：方位角的确定首先要确定基点，再由正南或正北测量出夹角。
思维拓展类例7 如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A＝60°，求∠BOC；（2）若∠A＝100°，∠BOC又是多少？（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三角形的内角和等于180°）一点通：根据角平分线的性质及三角形的内角和等于180°解题；同时根据（1）、（2）的结果发现规律。
解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4；∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°（三角形内角和），∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－60°＝120°，即∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝120°，∴∠1＋∠4＝60°，∵∠1＋∠4＋∠BOC＝180°（三角形内角和），∴∠BOC＝180°－60°＝120°。
知识相结合的解题能力，需要多加练习。
例9 已知直角∠AOB，以O为顶点，在∠AOB的内部画出100条射线，则以OA、OB及这些射线为边的锐角共有多少个？若以O为顶点，在∠AOB的内部画出n条射线（n≥1的自然数），则以OA、OB及这些射线为边的锐角共有多少个？一点通：在∠AOB的内部，以O为顶点，画1，2，3，4条射线，数数各有多少个锐角，找出规律，再计算100条射线、n条射线所构成的锐角的个数。
解：5 150个锐角；232nn+个锐角。
问题：已知∠AOC＝60°，∠AOB＝80°，两个角有一个公共边AO，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数？一点通：已知中没有给出图形，此时应建立起讨论的思想，分OB、OC在OA的同侧和异侧两种情况。
再根据角的和与差运算。
解：（1）如图，当OB、OC在OA的同侧时，∵∠AOC＝60°，∠AOB＝80°，∴∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝80°－60°＝20°，在OA的异侧时，（答题时间：60分钟）1. 如图直线a、b相交，∠1＝130°，则∠2＋∠3＝（）A. 50°B. 100°C. 130° C. 180°2. 如图，三条直线相交于O 点，则图中相等的角（平角除外）有（ ）对A. 3对B. 4对C. 6对D. 8对 3. 下列叙述正确的是 （ ） A. 180°的角是补角 B. 110°和90°的角互为补角 C. 10°、20°、60°的角互为补角 D. 120°和60°的角互为补角 4. 如图，∠PQR 等于138°，SQ ⊥QR ，QT ⊥PQ 。
则∠SQT 等于 （ ）A. 42°B. 64°C. 48°D. 24°5. 如图，将一矩形纸片按如图方式折叠，BC 、BD 为折痕，折叠后B E B A ''与在同一条直线上，则∠CBD 的度数（ ）A. 大于90°B. 等于90°C. 小于90°D. 不能确定6. 若∠A ＝45°18′，∠B ＝45°15′30″，∠C ＝45.15°，则（ ）A. ∠A>∠B>∠CB. ∠B >∠A >∠CC. ∠A>∠C>∠BD. ∠C>∠A>∠B7. 如图，两个直角∠AOB ，∠COD 共顶点O ，下列结论：①∠AOC ＝∠BOD ；②∠AOC ＋∠BOD ＝90°；③若OC 平分∠AOB ，则OB 平分∠COD ；④∠AOD 的平分线与∠COB 的平分线是同一条射线。
其中正确的个数有（ ）个A. 1B. 2C. 3D. 48. 甲、乙两人各用一张正方形的纸片ABCD 折出一个45°的角（如图），两人做法如下： 甲：将纸片沿对角线AC 折叠，使B 点落在D 点上，则∠1＝45°乙：将纸片沿AM 、AN 折叠，分别使B 、D 落在对角线AC 上的一点P ，则∠MAN ＝45°对于两人的做法，下列判断正确的是（ ）A. 甲乙都对B. 甲对乙错C. 甲错乙对D. 甲乙都错二、填空题 1. 78.36°＝ 度 分 秒。
2. 一个角的补角比它的余角大 度。
3. 有公共顶点的两条射线分别表示南偏东15°与北偏东25°，则这两条射线组成的小于平角的角的度数为 。
4. 一个角的补角是123°24′，则这个角是_____。
三、简答题1. 一个角的补角比这个角的余角的2倍大40°，求这个角的度数。
2. 如图，∠AOB 是直角，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，求∠EOD 的度数。
3. 如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，∠COE 是直角，OF 平分∠AOE ， ∠COF ＝34°，求∠BOD 的度数。
4. 在AOE 的内部，从O 引出三条射线OB OC OD 、、，中共有多少个角？ 若在∠AOE 的内部从它的顶点O 引出n 条射线，则图中有多少个角？一、选择题1. B2. C3. D4. A5. B6.A7. C8. A二、填空题1. 78度21分36秒2. 903. 140°4. 56°36′第11页版权所有不得复制。