∂τ zx + τ zx + dz dxdy − τ zx dxdy + Xdxdydz = 0 ∂z
∂σ x ∂τ yx ∂τ zx + + + X =0 ∂x ∂y ∂z
由y、z方向的平衡
∂τ xy ∂x
+
∂σ y ∂y
+
∂τ zy ∂z
+Y = 0
∂ τ xz ∂ τ yz ∂ σ z + + +Z =0 ∂x ∂y ∂z
σz + ∂σ z dz ∂z
在x=0的面上，应力是σx、τxy、 τxz =0的面上，应力是σ 的面上
∂τ zx dz ∂z
τ yz + ∂τ yz ∂y dy
τ zy +
∂τ zy ∂z
τ zx +
dz
∂τ xz dx ∂x
∂τ xy ∂x dx
在x=dx面上的应力 面上的应力
σ
∂σ y ∂y dy
∂ σ x ∂ τ yx ∂ τ zx + +X =0 + ∂x ∂y ∂z
力矩平衡： 力矩平衡：绕z轴
(τxydydz)dx−(τyxdxdz)dy=0
τxy＝τyx
绕x和y方向的形心轴取矩
τyz=τzy τxz= τzx
一点处应力状态的描述
二维应力状态 三维应力状态
z
O
σy τ yx
σx
C P
Z
k i
x O j
X
∆S Y
y
1MN/m2 = 106Pa = 1MPa (兆帕) (1) F 是坐标的连续分布函数； 说明： 说明： (2) F 的加载方式是任意的;
(3) X Y Z 的正负号由坐标方向确定。 的正负号由坐标方向确定。
应 力
(1) 一点应力的概念
内力 (1) 物体内部分子或原子间的相互 不考虑) 作用力; 作用力; (不考虑) 由于外力作用引起的相互作用力. (2) 由于外力作用引起的相互作用力. ΔQ
x
z
τ yx
σx
y
τ zx
将应力合成
z
C T (-e x )
z
n T (-e y )
ez
Ο
T(n)
y
y
Β
ex
Α
ey
T (-e z )
x
x
由微四面体的平衡条件得：
T(n)dS+T(−ex)ldS+ T(− ey)mdS+ T(− ez)ndS +Xdh dS /3=0 T( n)＝T(ex)l+T(ey)m+T(ez)n
X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影 、 、 为体力矢量在坐标轴上的投影 单位： 单位： N/m3 kN/m3
z
Z
∆Q
k i
O j
X ∆V Y
y
(1) F 是坐标的连续分布函数； x 说明： 说明：(2) F 的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等 如 重力，磁场力、惯性力等) (3) X、Y、Z 的正负号由坐标方向确定。 、 、 的正负号由坐标方向确定。
τ yx
τ xy
σy
x
应力张量
• 微六面体
τxy σx
用矩阵表示： 用矩阵表示：
σy
τxz
σ x τ xy τ xz [σ ] = τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z
τzy σz
数学上,在坐标变换时, 数学上,在坐标变换时,服从一定坐标变换式的九个数 二阶张量. 所定义的量叫做 二阶张量.
σ ii =σ11 +σ22+σ33
∂Vk ∂V1 ∂V2 ∂V3 = + + ∂X k ∂X 1 ∂X 2 ∂X 3
自由指标：不重复出现的指标，例如， 自由指标：不重复出现的指标，例如，
Aijxi=Bj
是哑指标， 是自由指标，可以取1 其中i是哑指标，而j是自由指标，可以取1，2，3，
平衡微分方程
＝[β] [σ] [β]T
σ x τ xy τ xz [σ] = τ yx σ y τ yz τ τ σ zx zy z
张量形式: 张量形式
l1 m1 n1 [β] = l2 m2 n2 l3 m3 n3
σ i′j′ = li′i l j′jσ ij
由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度
应力分量
应力的法向分量 应力的切向分量
σ
—— 正应力 —— 剪应力
τ
P
ΔA
ΔQ
τ
法线) σ (法线)
n
单位: 单位: 与面力相同
应力关于坐标连续分布的
MPa (兆帕)
σ = σ (x, y, z) τ = τ (x, y, z)
(2)
一点的应力状态
通过一点P 的各个面上应力状况的集合 —— 称为一点的应力状态
张量表示 用1、2、3取代下标x、y、z，
σ11 σ12 σ13 σ ij = σ 21 σ 22 σ 23 σ 31 σ 32 σ 33
张量求和约定
哑指标：重复出现两次的指标， 哑指标：重复出现两次的指标，累加求和
U i V i = U1V1 + U 2 V 2+ U3V3
T (-e z )
y
x
求斜截面的各种应力
（1）正应力
σn=T(n)• n = Txl + Tym + Tzn σn＝σxl2+σym2+σzn2+2τxylm+2τyzmn+2τzxnl
＝σijninj
（2) 剪应力
T (n) = Tx2 + Ty2 + Tz2
τn = T ( n)
2
− σ2 n
σ x τ xy τ xz [σ] = τ yx σ y τ yz τ τ σ zx zy z
l1 m1 n1 [β] = l2 m2 n2 l3 m3 n3
[σ′]＝
σ x ' τ x ' y ' τ x ' z ' τ y ' x ' σ y ' τ y ' z ' τ z'x' τ z' y' σ z'
例题
[σ ]
ij
1 = 0 − 4
0 3 0
− 4 0 5
面上的法向正应力和切向剪应力
求在 n = • 解
1 1 1 e1 − e 2 + e3 2 2 2
2
T = lσ11 + mσ21 + nσ31 = 1 ×1 − 1 × 0 + 1 × (−4) = 1 − 2 2 1
τ=
2 3 2 T12＋T2 ＋T3－σ N
1 = 27 + 48 2 2
应力分量的坐标变换
• 新旧坐标的夹角
ex
e′ ' x
e ′y '
′ ez'
ey m1 m2 m3
ez n1 n2 n3
l1 l2 l3
• e ′ ' 面（斜截面）的应力矢量在旧坐标下的分量 x
Tx＝σxl1+τyxm1+τzxn1 Ty＝τxyl1+σym1+τzyn1 Tz＝τxzl1+τyzm1+σzn1
x
dx dy ds
A
y
y
τ xy τ N
B
σN
s
N
x
Chauchy公式（斜面应力公式）
已知三个互相垂直面上的应力矢量， 已知三个互相垂直面上的应力矢量，求任意一斜面上的应 力矢量，由四面体平衡条件导出。 力矢量，由四面体平衡条件导出。
∑Fx = 0
∑Fy = 0 ∑Fz = 0
Tx = σ xl + τ yx m + τ zx n Ty = τ xyl + σ y m + τ zy n Tz = τ xz l + τ yz m + σ z n
第二章 应 力
外 力
表面力和体积力, 作用在物体上的外力可以分为 表面力和体积力, 简称体力 面力. 体力和 材力：集中力、分布力。） 简称体力和面力. （材力：集中力、分布力。）
弹性体内单位体积 单位体积上所受的外力 (1) 体力 —— 弹性体内单位体积上所受的外力
∆Q —— 体力分布集度 F = lim 矢量） （矢量） ∆V →0 ∆V F = Xi + Yj + Zk
s = lim
∆A→0
n
(法线) 法线)
∆Q (1) P点的内力面分布集度 ----P点的应力 ∆A (2) 应力矢量.− ∆Q的极限方向 应力矢量.
P
ΔA
柯西首先提出 柯西首先提出 应力和应变的理论
(1)
一点应力的概念
∆Q (1) P点的内力面分布集度 s = lim ∆A→0 ∆A 应力矢量. (2) 应力矢量.− ∆Q的极限方向
将斜面应力矢量T( n)沿坐标轴方向分解 T( n)＝Txex+Tyey+Tzez 斜截面公式 Tx＝σxl+τyxm+τzxn Ty＝τxyl+σym+τzyn Tz＝τxzl+τyzm+σzn 张量表示 Tj = niσij
Α
T (-e y ) n C
z
T (-e x )
ez
Ο
T (n)