A
B
Ω
6, 若AB=Ω且AB=, 则称事件A与事件B互为逆事件, 又称事件A 与事件B互为对立事件, 这指的是对每次试验而言, 事件A,B中必有 一个发生, 且仅有一个发生. A的对立事件记为 A , A A.
A
Ω
A
在进行事件运算时, 经常要用到下述定律. 设A,B,C为事件, 则有
理解条件概率的概念，掌握概率的乘法定理，了解事 件的独立性概念。 掌握贝努利概型和二项概率的计算方法。
第一节 随机事件及其概率
一、随机试验
二、随机事件
三、事件的关系与运算
一、随机试验
在一定条件下必然发生的现象,称为确定性现象. 在个别试验中呈现出不确定性, 在大量重复试验中其结 果又具有统计规律性的现象, 称为随机现象. 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的 一门数学学科.
1 : {H,T}
E2:将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.
2 : {HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数.
3 : {0,1,2,3};
E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数.
4 :{1,2,3,4,5,6};
(二) 随机事件 称试验E的样本空间Ω的子集为E的随机事件,
简称事件. 在每次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本
点出现时, 称这一事件发生.
特别, 由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件. 例如,
掷一次硬币的实验E1有两个基本事件{H}和{T}; 掷一次骰子的
实验E4有6个基本事件{1},{2},{3},{4},{5},{6}.
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（四）
—— 概率论与数理统计
第一讲 随机事机及其概率
脚本编写：肖庆丰
教案制作：肖庆丰
第一章 随机事件及其概率
本章学习要求： 理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。 理解事件频率的概念，理解概率的古典定义。
掌握概率的基本性质及概率加法定理。
解:
A1 A2 : 前两次至少有一次中 A2 : 第二次未中 A1 A2 A3 : 三次中至少一次中 A1 A2 A3 : 三次都中 A3 A2 A3 A2 : 第三次中但第二次未中 A1 A2 A1 A2 : 前两次均未中 A2 A3 A2 A3 : 后两次至少有一次未击 中 A1 A2 A1 A3 A2 A3 : 三次射击至少两次中
E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.
二、随机事件
(一)样本空间 对于随机试验, 尽管在每次试验之前不能 预知试验的结果, 但试验的所有可能的结果组成的集合是 已知的, 将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的 样本空间, 记为Ω. 样本空间的元素, 即E的每个结果, 称为样本点.
例1
E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的现象.
试验的例:
E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的现象.
E2:将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况.
E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数.
E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数.
E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数.
E6:在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命射手连续向某个目标射击三次事件Ai表示该射手第i次 射击时击中目标(i=1,2,3). 试用文字叙述下列事件:
A1 A2 ; A2 ; A1 A2 A3 ; A1 A2 A3 ; A3 A2 ; A3 A2 ; A1 A2 ; A1 A2 ; A2 A3 ; A2 A3 ; A1 A2 A1 A3 A2 A3
k 1 n
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,的和事件.
k 1
3,事件AB={x|xA且xB}称为事件A与事件B的积事件. 当且仅 当A, B同时发生时, 事件AB发生. AB也记作AB
A
B
Ω
类似地, 称 Ak 为n个事件A1 , A2 , , An的积事件;
k 1 n
1、若AB, 则称事件B包含事件A, 这是指的事件A发生必然导 致事件B发生.
若AB且BA, 即A=B, 则称事件A与事件B相等.
B A Ω
2、事件AB={x|xA或xB}称为事件A与事件B的和事件. 当
且仅当A, B中至少有一个发生时, 事件AB发生.
Ω
A
B
类似地, 称 Ak 为n个事件A1 , A2 , , An的和事件;
试验为掷三次硬币, 事件A1:"第一次出现的是H", 事
A1={HHH,HHT,HTH,HTT}, A2={HHH,TTT}, A1A2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT}, A1A2={HHH}, A2-A1={TTT},
A1 A2 {THT , TTH , THH }.
例3
交换律: AB=BA; AB=BA.
结合律: A(BC)=(AB)C;
A(BC)=(AB)C.
分配律: A(BC)=(AB)(AC);
A(BC)=(AB)(AC);
德•摩根律:
A B A B; A B A B .
例2 件A2:"三次出现同一面",
事件A2:"三次出现同一面", 即
A2={HHH, TTT}
在E6:测试任取的一只灯泡寿命中, 事件A3:"寿命小于1000小
时", 即
A3={t|0t<1000}
三、事件间的关系与事件的运算
事件是一个集合, 因而事件间的关系与事件的运算按照集 合论中集合间的关系和集合运算来处理. 下面给出这些关系 和运算在概率论中的提法. 并根据“事件发生”的含义, 给 出它们在概率论中的含义. 设试验E的样本空间为Ω, 而A,B,Ak(k=1,2,...)是Ω的子集. 通常喜欢用一个矩形来代表Ω, 其中的子区域代表一个事件.
称 Ak 为可列个事件 A1 , A2 ,的积事件.
k 1
4、事件A-B={x|xA且xB}称为事件A与事件B的差事件, 当且
仅当A发生, B不发生时事件A-B发生.
A
B
Ω
5. 若AB=, 则称事件A与事件B是互不相容的, 或互斥的, 这 指的是事件A与事件B不能同时发生, 基本事件是两两互不相容 的.
随机试验简称试验. 在概率论中,试验是一个含义广泛的术语, 并没有严格的纯数
学定义. 包括人做的试验, 甚至大自然做的试验, 机器人做
的试验, 人进行的观察, 等等.
试验的特点:
1、可在相同条件下重复地进行; 2、每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确所有可能 的结果. 3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
样本空间Ω包含所有的样本点, 它是Ω自身的子集, 在每次 试验中它总是发生的, 称为必然事件, 空集不包含任何样 本点, 它也作为样本空间的子集, 它在每次试验中都不发生, 称为不可能事件.
几个事件的例子:
例: 在E2:掷三次硬币观察正反面出现情况中事件A1:"第一次
出现的是H", 即
A1={HHH,HHT,HTH,HTT}.
如图所示的电路中, A表示"信号灯亮", B, C, D表示继
电器接点I,II,III闭合.
II I III
则BCA, BDA, BCBD=A, 而
BA , B C B C .
B
I III D A II C
例4 从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品 不放回), 事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3). 试用事件 的运算符号表示下列事件:
三次都取到了合格品;
三次中至少有一次取到合格品; 三次中恰有两次取到合格品; 三次中最多有一次取到合格品.
解:
三次全取到合格品: A1A2A3
三次中至少有一次取到合格品: A1+A2+A3
三次中恰有两次取到合格品:
A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3
三次中至多有一次取到合格品: