② A B AB
AB
AB
A
B
BA
四、事件的运算律
1.交换律、结合律:(略)
2.分配律：
① AUBI C AUBAUC ② A I B UC AB U AC
3.对偶律：
① A U B A I B （和的逆＝逆的积） ② A I B A U B （积的逆＝逆的和）
例2. 用A、B、C的运算关系表示下列各事件:
P( A) A的测度(长度,面积,体积) 的测度(长度,面积,体积)
例4.
如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平
方公里的大陆架贮藏着石油,
若在海域里随意选取一点
钻探, 问钻到石油的概率是多少？
解:
由题意知, 问题归结为几何概率的计算,
设A={钻到石油},
则 P( A) 40 50000
①三个事件中至少一个发生:
A U B UC
②没有一个事件发生:
ABC A U B UC
③恰有一个事件发生:
ABC U ABC U ABC
④至多有两个事件发生:
（考虑其对立事件）
ABC A U B UC
⑤至少有两个事件发生:
（由对偶律）
ABC U ABC U ABC U ABC AB U BC UCA
考虑可能出现的点数;
2 1, 2, 3, 4, 5, 6
E3: 记录某网站一分钟内受到的点击次数;
3 0，1，2，L
E4: 任选一人,
记录他的身高(m)和体重(kg).
4 h, g 0 h 3, 0 g 400
注: ①样本空间是一个集合;
②对于一个随机试验而言,
例如:
掷两枚均匀的骰子一次,
样本空间并不唯一. 若实验的目的是观察所有
可能出现的结果: 1 1,1,L 1,6,L 6,1,L 6,6;
若试验目的是观察出现的点数和:
2 2, 3, 4,L ,12 .
3. 随机事件：
样本空间Ω的某个子集.
" A, B, C, L "
例如:
在掷骰子试验中,
事件A:出现偶数点
基本事件： 由一个样本点构成的集合
解:
设A={取到的数能被2整除},
B={能被3整除},
则 P( A) 1/ 2, P(B) 3/10, P( AB) 1/10, 故 (1) P( A U B) P( A) P(B) P( AB) 7 /10
(2) P( A I B) P A U B 1 P(A U B) 3/10
(3) P(A B) P(A) P(AB) 2 / 5
例7.
从1-9九个数字中有放回的取出n个数字,
第一章 随机事件与概率
随机事件及其运算 随机事件的概率 条件概率与事件的独立性
前
确定性现象与不确定性现象
言
确定性现象:
• 每天早晨太阳从东方升起;
• 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
不确定性现象:(随机现象)
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？
• 一天内进入某超市的顾客数.
随机现象的统计规律性
中取出r 个元素的选排列,
记为
且有
5.全排列:
r = n 的选排列称为全排列,
记为
且有
6.组合:
从 n 个不同的元素中任意取出 r 个(0≤r≤n)
元素组成一组(不考虑次序),
称为从 n 个元素中取出r个
元素的一个组合,
记为
且有
一、基本概念
1.随机试验:(E)
对随机现象进行观察或试验.
①可在相同条件下重复进行
A与B不能同时发生,
则称A
与B互斥. 即 " AB "
注: ①基本事件之间是互斥的;
A
B
② 与任何事件互斥.
AB
三、事件的运算
1.和:(并)
A,B中至少有一个发生的事件.
AUB A B
或
2.积:(交)
A ,B 同时发生的事件.
A I B AB
且
注: 和、积运算可推广到有限个和可列无穷多个的情形.
⑴非负性：
对任意A， P( A) 0
⑵规范性： P() 1
⑶可加性：
若A和B互斥， 则 P( A B) P( A) P(B)
⑷ P() 0 ⑸ P( A) 1 P( A)
三、几何概率
1.几何型随机试验:
2.几何概率的定义： 在几何型随机试验中,
①无限性 ②等可能性
定义事件A发生的概率为
4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》；
6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间 序列分析》方法非常有用;
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 可夫过程》 来描述;
8. 许多服务系统，如电话通信、船舶 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
随机现象在相同条件下进行大量观察或试验时出现 的结果的规律性.
概率论是一门研究客观世界随机现象统计 规律的 数学分支学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
第一节
第一章
随机事件及其运算
一、基本概念 二、事件之间的关系 三、事件之间的运算 四、事件的运算律
1.加法原理: 径有 有
预备知识
如果完成某件事有m 种途径,
而每种途
种不同的方法,
那么完成该件事共
种不同的方法.
2.乘法原理: 成每个步骤分别有 有
如果完成某件事须经过 m 个步骤,
而完
种不同的方法,
注:
不能从字面上理解事件的对立.
第二节
第一章
随机事件的概率
一、概率的统计定义 二、古典概率 三、几何概率 四、概率的性质
引言
概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征, 通常用P(A) 来表示事件A发生的可能性大小.
一、概率的统计定义
1.频率:
定义1:
在相同的条件下重复进行了N次试验,
若A发生
了 次,
2.概率的统计定义:
FN ( A则)称
N
为A在N次试验中出现的频率.
高尔顿板
定义2:
独立重复地做N次试验,
当N很大时, 若事件A
发生的频率稳定地在某一数值p 附近摆动,
则称p 为A发
生的概率.
注: 概率是确定的,
而频率与试验次数有关.
二、古典概率
1.古典型随机试验:
①有限性 ②等可能性
2.古典概率的定义：
②试验的所有可能结果明确可知，且不止一个
③每一次试验的结果是不可预言的
2.样本空间: 由随机试验的一切可能结果组成的一个集合.
其每个元素称为样本点.
""
""
例1. 写出下列试验的样本空间.
E1: 将一枚硬币连抛两次,
1
(正,正),
(正,反),
考虑正反面出现的情况;
(反,正),
(反,反)
E2: 掷一颗均匀骰子,
AB
AUB
AB
AI B
3.差:
A发生而B不发生的事件,
称为A与B的差.
AB
且 B
注: ① A B A AB ② 若A,B互斥, 则 A B A, B A B ③ A(B C) A B C
4.逆:(对立事件) 若A与B满足 称 A与B互逆.
A U, B 且 AB
注:
①事件互斥与互逆的区别
例5. （会面问题）
两人相约7点到8点在
某地会面，
先到者等候另一人20分钟后就
可离去，
试求这两人能会面的概率？
解: 以 x分,别y 表示两人到达时刻
(7点设为零时刻),
则会面的充要条件
y
60
为 x y 20 ,
这是一几何概率问题,
可能的结果全体是边长为60的正方形里的点,
20
x
o 20
60
能会面的
解:
⑴设 A={恰有一双配对},
则
P(A) C61C22C52C12C12 / C142 16 / 33
(2)设B={至少有两只鞋子配成一双},
则
P(B) 1 P(B) 1 C64C21C21C21C21 / C142 17 / 33
或 P(B) (C61C22C52C21C21 C62C22C22 ) / C142 17 / 33
定义3:
设古典型试验的样本空间为
{1, 2,...,n},
若A事件 中含有k (k 个n样) 本点,
则k称 为A 发生的概率, n
记为
P( A) k n
A 中的样本点个数 中的样本点个数
例1. 从编号为 1 ~ 10源自的10个同样的球中任取一个,
求
A={抽到2号球}，
B={抽到奇数号球}的概率.
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能
否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》；
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正 的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那 么我们就寸步难行, 无所作为.