第三章 二阶线性偏微分方程的化简及其 分类
祁影霞作
二阶线性偏微分方程的一般形式：
n ∂ u ∂u ∑ ∑ aij ∂x ∂x + ∑ bi ∂x + cu + f = 0 j =1 i =1 i =1 i j i n n 2
其中 a , b , c, f 是自变量 x1 , x2 ,⋯, xn 的函数，如果f=0，则方程是线 性齐次方程，否则方程是非线性 齐次方程。
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u =9 2 −6 + 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ∂x ∂ξ
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = +2 + 2 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ∂y ∂y ∂ξ
∂ 2u ∂u ∂u 代入原方程得：− 16 ∂ξ∂η + 12 ∂ξ + 4 ∂η = 0
即：
∂ 2u 3 ∂u 1 ∂u = + ∂ξ∂η 4 ∂ξ 4 ∂η
uαα + u ββ 1 =− [( B1 + B2 )uα + i ( β 2 − β 1 )u β + 2Cu + F ] A12
（3-9）
§5-1 二阶线性偏微分方程的分类
§3.2 方程的分类
由前面的讨论可知，方程(3.1)通过自变量的可逆变换化为那 一种标准形式，主要决定于它的主部系数。 a11u xx + 2a12 u xy + a 22 u yy 若方程(3.1)的主部系数 满足 在区域Ω中某一点(x0，y0)
ij i
§3.1 两个自变量方程的化简
一般形式：
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u a11 2 + 2a12 + a 22 2 + b1 + b2 + cu + f = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y
（3-1）
其中 假定
a11 , a12 , a 22 , b1 , b2 , f
a11 , a12 , a 22 , b1 , b2 , f
zx 2 zx a11 (− ) − 2a12 (− ) + a 22 = 0 zy zy z ( x, y ) = c 看作定义隐函数 y = y (x ) 的方程，则
dz = z x dx + z y dy = 0
zx dy =− dx zy
从而有：
dy 2 dy a11 ( ) − 2a12 ( ) + a 22 = 0 dx dx
(1 + x 2 )u xx + (1 + y 2 )u yy + xu x + yu y = 0 （2）
（3）u xx + xu yy = 0
只是x，y的函数。以下讨论时 是实数。作变量代换如下：
y = y (ξ ,η )
x = x (ξ ,η )
则在上式代换下方程（3-1）变为
A11uξξ + 2 A12 uξη + A22 uηη + B1uξ + B2 uη + Cu + F = 0
（3-2）
其中系数：
A11 = a11ξ x2 + 2a12ξ xξ y + a 22ξ y2 A12 = a11ξ xη x + a12 (ξ xη y + ξ yη x ) + a 22ξ yη y 2 2 A22 = a11η x + 2a12η xη y + a 22η y B1 = a11ξ xx + 2a12ξ xy + a 22ξ yy + b1ξ x + b2ξ y B2 = a11η xx + 2a12η xy + a 22η yy + b1η x + b2η y C = c, F = f
双曲型方程
∆ = cos 2 x + 3 sin 2 x = 4 > 0
特征方程 特征方程的解： 特征方程的解： 特征线： 特征线： 令：
(
dy 2 dy ) + 2 cos x − (3 + sin 2 x) = 0 dx dx
dy = − cos x + 2, dx
dy = − cos x − 2 dx
故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程
dy 2 dy ) +2 −3= 0 dx dx dy dy = −3 =1 或 dx dx (
故有y + 3x = C1 或 y − x = C 2 取新变量 ξ
= 3x + y η = −x + y
则
∂u ∂η ∂u =3 − ∂x ∂ξ ∂η
∂u ∂η ∂u ，∂y = ∂ξ + ∂η
y + sin x + 2 x = C1 ,
y + sin x-2 x = C 2
ξ = y + sin x + 2 x,
u ξη +
η = y + sin x-2 x
ξ +η
32
(uξ + uη ) = 0
s = ξ + η , t = ξ-η
例4：判定下列二阶方程的类型 （1）u xx + 4u xy − 3u yy + 2u x + 6u y = 0
2 a12 − a11 a 22 = 0 ，二阶线性偏微分方程为抛物型方程 若
若
2 a12 − a11a22 < ，二阶线性偏微分方程为椭圆型方程 0
1：双曲型 2 a12 − a11a22 > 0 时，（3-6）式给出一族实的特征 当 曲线 ξ ( x, y) = c1 η ( x, y) = c2 取 ξ = ξ ( x, y ) η = η ( x, y ) 则 A11 = A22 = 0，这时方程变为
（3-3）
从（3-3）中可以看出，如果取一阶偏微分方程 2 a11 z x + 2a12 z x z y + a 22 z 2 = 0 y （3-4） 的一个特解作为ξ ，则
a11ξ x2 + 2a12ξ xξ y + a 22ξ y2 = 0
从而A11=0。如果取（3-4）的另外一个特解作为η 则A22=0，这样方程（3-2）就可以简化。 一阶偏微分方程（3-4）的求解可以转化为常微分 方程的求解，将（3-4）改写成： 如果将
（3-5）
常微分方程（3-5）叫做二阶线性偏微分方程的特 征方程。特征方程的一般积分 ξ ( x, y) = c 和 η ( x, y) = c2 叫做特征线。 （3-5）的解为： dy a ± a − a a （3-6） =
1
12 2 12 11 22
dx
a11
2 a12 − a11 a 22 > ，二阶线性偏微分方程为双曲型方程 0 若
§5-1 二阶线性偏微分方程的分类
例题2： 例题 ：把方程 分类并化为标准形式 解：该方程的 故该方程是抛物型的。 故该方程是抛物型的。 特征方程： 特征方程：
特征的解： 特征的解： 从而得到方程的一族特征线为： 从而得到方程的一族特征线为： 作自变量代换 必须函数无关, (由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最 简单的函数形式, 简单的函数形式,即η=x 或η=y) )
dy a12 = dx a11
ξ 它只能给出一个实的特征线， ( x, y ) = c 。取与
ξ ( x, y ) 函数无关的 η = η ( x, y ) 作为另一个新的变量
则有
uηη 1 =− [ B1uξ + B2 uη + Cu + F ] A22
（3-8）
3：椭圆型 当 a −a a
2 12
∂u ∂2u − 2=f ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u + 2=f 2 ∂x ∂y
例1：判断下面偏微分方程的类型并化简 u xx − 2u xy − 3u yy + 2u x + 6u y = 0
2 a12 = −1 a 22 = −3 故 a12 − a11a22 = 4 > 0 解：∵ a11 = 1
uξη
若再作 ξ = α + β ,η = α − β 则上述方程变为：
uαα − u ββ 1 =− [( B1 + B2 )uα + ( B1 − B2 )u β + 2Cu + F ] A12
1 =− [ B1uξ + B2 uη + Cu + F ] 2 A12
（3-7）
2：抛物型 2 a12 − a11a 22 = 0 ，这时（3-6）式只有一个解 当
11 22
< 0时，（3-6）式各给出一族复特征线
η ξ = ξ ( x, y ) ， = η ( x, y )
A 在该变换下：11 = 0, A22
uξη = −
= 0 且方程化为：
1 [ B1uξ + B2 uη + Cu + F ] 2 A12
令 ξ = α + i β ,η = α − i β 则有：
则称方程在点(x0，y0)是双曲型的；在邻域；在Ω中 则称方程在点(x0，y0)是抛物型的; 则称方程在点(x0，y0)是椭圆型的。 相应地， (3.7)、(3.8)和(3.9)这三个方程分别称为双曲型、抛物型和椭圆型 (二阶线性)偏微分方程的标准形式。
标准形式
∂ 2u ∂ 2u − 2 = f 2 ∂x ∂y
于是，原方程化简后的标准形式为： 于是，原方程化简后的标准形式为：
例题3： 例题 ：判断下面偏微分方程的类型并化简
u xx − 2 cos xu xy − (3 + sin 2 x)u yy − yu y = 0