1 1 令 ( s t ), ( s t )uss utt A1us B1ut C1u D1 2 2 此方程二阶导数部分与弦振动方程类似，称为双曲型方程。
2 (2)当 =a12 -a11a22 =0时u =Au +Bu Cu D 1 2
0 0
多元二阶线性方程的分类
(3) A( x0 )的m个特征值都是负（正）数方程)在点x0属于椭圆型 2u 2u 2u 位势方程：u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ) x y z -1 A= 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 0
三类典型方程
位势方程
椭圆型方程
2u 2u 2u u 2 + 2 + 2 f ( x, y, z ), x, y, z ) , x y z 在热传导问题中，若外界环境及物体内热源不随时间变化， 则经过较长时间后，物体内温度场区域稳定，即温度与时间无关。 2 2 2 = 2 + 2 + 2 是Laplace算子。 x y z f ( x, y, z )=0时称为Laplace方程，也称为调和方程。
多元二阶线性方程的分类
(1) A( x0 )的m个特征值除了一个为正（负）外都是负（正）数 方程)在点x0属于双曲型 -a 2 0 0 2 2 0 0 u u 波动方程： 2 a 2 2 f ( x, t ) A= 2 t x 0 0 -a 0 0 0 0 1 (2) A( x0 )的m个特征值除了一个为0外都是负（正）数 方程)在点x0属于抛物型 -a 2 2 2 2 u u u u 2 热传导方程： a（ + 2 + 2） f ( x, y, z , t ) A= 2 0 t x y z 0 0 0 -a 2 0 0 0 0 0


F ( x, t )是弦所受垂直方向的外力（如重力）的密度。
三类典型方程
热传导方程 抛物型方程
2 2 2 u u u u 2 a（ 2 &#, y , z ) , t 0 t x y z
u ( x, y, z , t )表示均物体在t时刻 x, y, z )点处的温度。 k 1 2 a = , f ( x, y, z , t ) f 0 ( x, y, z , t ), c c k 0为导热系数，c、 分别为物体的比热和质量密度， f 0 ( x, y, z , t )为物体内的热源的热源密度。
2 (3)当 =a12 -a11a22 0时u u =Au +Bu Cu D
此方程二阶导数部分与位势方程类似，称为椭圆型方程。

多元二阶线性方程的分类
一般形式： aij u xi x j bi u xi cu ( x ) f ( x ))
二元二阶线性方程的分类
一般形式： a11u xx 2a12u xy u yy b1u x b2u y cu f , 作自变量的变量替换： = ( x, y ), ( x, y ).
2 (1)当 =a12 -a11a22 0时u =Au +Bu Cu D
i , j 1 i 1 m m
其中aij a ji (i, j 1,
, m),以A表示矩阵(aij )mm ,设x0 R m ,
A( x0 )表示系数矩阵A在点x0的值，由A( x0 )=AT ( x0 ) A( x0 )可以对角化。 (1) A( x0 )的m个特征值除了一个为正（负）外都是负（正）数 方程)在点x0属于双曲型 (2) A( x0 )的m个特征值除了一个为0外都是负（正）数 方程)在点x0属于抛物型 (3) A( x0 )的m个特征值都是负（正）数方程)在点x0属于椭圆型 若对于区域上每一点，方程)属于双曲型（抛物型、椭圆型）， 则称方程)属于双曲型（抛物型、椭圆型）。
三类典型方程
波动方程 一维弦振动方程
二维膜振动方程
双曲型方程
三维电磁波或声波传播方程
2 2u u 2 a f ( x, t ),x (a, b), t 0 2 2 t x u ( x, t )表示均匀柔软且有弹性的弦在t时刻x点处的横向位移。 T F ( x, t ) a 2 , f ( x, t ) , T 是弦的张力， ( x)是弦的质量线密度，
0 0
调和方程
位势方程-u =f ,当 f 0时有 2u 2u 2u u 2 + 2 + 2 =0 x y z 为Laplace方程（调和方程），满足调和方程的解称为调和函数。 2 2 Et 3 2 w 2 w 2 + 2 + 2 q 2 2 y x y 12(1 v ) x 四阶椭圆型方程--------双调和方程
刘庆成 3112001158 2013.4.2
偏微分方程
偏微分方程：含有未知的多元函数u及其偏导数的关系式。 n阶线性偏微分方程：方程中未知函数偏导数的最高阶数为n。 线性偏微分方程：偏微分方程关于未知函数及其偏导数都是线 性的。
例如二阶线性偏微分方程： 2u 2u 2 a( x, y) 2 b( x, y)u 0 x y

令v ue
0
B ( , ) d
v A2v C2v D2
此方程与一维热传导方程类似，称为抛物型方程。
二元二阶线性方程的分类
一般形式： a11u xx 2a12u xy u yy b1u x b2u y cu f , 作自变量的变量替换： = ( x, y ), ( x, y ).