E3 A3
FN 1
FN 2
2COS
F E3 A3
EACOS
2
解超静定问题的步骤
（1）列 静力平衡方程 确定超静定次数； （2）根椐变形相容条件建立变形几何方程。变形几何方程的
个数与超静定次数相等； （3）将 物理方程 （胡克定律）代入变形几何方程得补充方程； （4）联立补充方程与静力平衡方程求解。
第六章
简单的超静定问题
• 超静定问题及其解法 • 拉压超静定问题 • 扭转超静定问题 • 简单超静定梁
§6—1 超静定问题及其解法
1，静定问题 约束反力或杆件的内力可以用静力平衡方程求出，这种情 况称作静定问题。
2，超静定问题
只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超 静定问题。
F
A
C
2
3
1
A
B
C
P 40
80
FN1
FN2
80
FN3
P
几何方程
2 l2 l1 l3
物理方程
l1
F N1l1 EA
l 2
F N2l2 EA
l3
F N3l3 EA
2
3
1
A
B
C
l1
P l2
l3
4080807575补充方程
2 F N 2 l2 F N1l1 F N 3 l3 EA EA EA
2
3
1
A
B
2
A
F
B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
解：列静力平衡方程
F N1 F N2
F N1cosα F N 2cosα F N 3 F 0
这是一次超静定问题。
B
D
C
3 1
2
A
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
F
由于1,2 两杆在 几何，物理 及 受力 方面都是对称。所以 变形后 A 点将沿铅垂方向下移。
B
D
C
3
1
2
FN1
A
F
B
D
C
FN3
FN2
αα
A
F
3 1
2
A A’
相容条件：变形后三杆仍绞结在一起。
B
D
C
3 1
2
B
D
3 1
2
A A’
A
l2
l1
l3
A’
变形几何方程为
l1 l3cos
物理方程为
l1
F N1l EA
l3 F N 3 l cosα
E3 A3
B
D
C
3 1
2
A
A’
B
D
3 1
l1 l3 2l2
方程物理
l1
F N1l EA
l 2
FN2l EA
l3
F N3l EA
3
2
1
3
2
1
C
B
A
l
a
a
B
C
A
l 3
l2 B
l1 A
C
G
(3) 补充方程
F N1 F N3 2F N 2
3
2
1
l
a
a
B
C
A
G
(4) 联立平衡方程与补充方程求解
H 0 F N1 F N2 F N3 G 0 F N1 2a F N 2 a 0 F N1 F N3 2F N 2
B
F
B
D
C
A F
F
3，超静定的次数 未知力个数与独立的静力平衡方程个数之差 ,称作超静定的次数。
4，多余约束 多于维持平衡所必需的支座或杆件。 5，多余未知力 与多余约束相应的支反力或内力。
一次超静定
F
A
C
B
B
D
C
F A
A
C
B
F
§6—2 拉压超静定问题
拉压虎克定律
l F N l
EA
材料在线弹性范围内工作
3
2
1
l
a
a
B
C
A
G
F
N
1
G 6
F
N
2
G 3
F
N
3
5G 6
1 杆缩短， 2，3 杆伸长
思考题 刚性梁 ABC 由抗拉刚度相等的三根杆悬挂着。
尺寸如图所示，拉力 P 为已知。写出平衡方程，几何方程，物 理方程，补充方程， 。
75
2
3
1
A
B
C
P 40
80
80
75
静力平衡方程
F N1 F N2 F N3 P 0 2F N 2 4F N3 P 0
解超静定问题注意
画变形图时，杆的变形与假设的轴力 符号要一致。
画受力图
列静力平衡方程
画变形几何关系图 列 变 形 几 何关系方 程
虎克定律
建立补充方程
解联立方程求出全部未知力
例题：图示平行杆系1、2、3 悬吊着横梁 AB ( AB 的变形略 去不计)，在横梁上作用着荷载 G。如杆 1、2、3 的截面 积、长度、弹性模量均相同，分别 为 A ，l ，E 。试求 1、 2、3 三杆的轴力 FN1，FN2，FN3 。
MC 0
FN2 2a + FN1 a - P a = 0 这是一次超静定问题
注意：由受力图看出，假设， 1 杆伸长， 2 杆缩短。
1
a
2a
一，一般超静定问题
例题：两端固定的等直杆 AB 横截面积为 A ，弹性模量为 E，
在 C 点处承受轴力 F 的作用。计算约束反力。
A
a
C
F
B
A
a
C
F
B
FA
A
C F
B
FB
列静力平衡方程
FAFB F
这是一次超静定问题。
A
a
C
F
B
FA
A
A
C
C
C1
F
B
B
FB
变形相容条件：杆的总长度不变。
l AC lCB
2
A
l2
l1
l3
A’
补充方程为
F N1 F N 3 EA cos2
E3 A3
FN1
FN3
FN2
αα
A
F
补充方程 平衡方程
F N1 F N 3 EA cos2
E3 A3
F N1 F N2
F N1cos F N 2cos F N 3cos F 0
解得
FN 3
1
F
2EA COS 3
C
l1
P l2
l3
40
80
80
例题：刚性杆AB 如图所示。已知 1、2 杆的材料，横截面积 ， 长度均相同。若两杆的横截面面积 A = 2cm2，材料的许用应 力 [] =100MPa。试求结构所能承受的最大荷载 Pmax 。
max
F
N max
A
[
]
1
a
2a
2
A
C
B
P
解：
1
a
2a
2
A
C
B
P
(1) 列静力平衡方程 取 AB 为研究对象
FA
A
a
C
F
B
A
C F
B
FB
A
C
l AC lCB
C1
B
变形几何方程为：
l AC lCB
物理方程为：
l AC
F Aa EA
l CB
FBb EA
A
a
C
F
B
补充方程为
FA
A
A
C
C
C1
F
B
B
FB
F Aa FBb EA EA
l AC lCB
A
a
C
F
B
F Aa FBb EA EA
FAFB F
FA
A
C F
B
FB
A
C
l AC lCB
C1
B
F
A
Fb l
F
B
Fa l
例题：设 1、2、3 三杆用铰链连结，l1 = l2 = l， A1 = A2 = A, E1 = E2 = E ,3 杆的长度 l3 ,横截面积 A3 ,弹性模量 E3 。 试求在沿铅垂方向的外力 F 作用下各杆的轴力。
B
D
C
3 1
3
2
1
l
a
a
B
C
A
G
解：(1) 平衡方程
x0
H 0
l
y0
F N1 F N2 F N3 G 0
MB 0 F N1 2a F N 2 a 0
这是一次超静定问题， 且假设均为拉杆。
3
a B
G
FN3
B
H
G
2
a
C
1
A
FN2
FN1
C
A
3
2
1
3
2
1
C
B
A
l
a
a
B
C
A
l 3
l2 B
l1 A
C
G
(2) 变形几何方程