解的存在唯一性定理证明及其研究专业名称：数学与数学应用组长：赵亚平组员：刘粉娟、王蓓、孙翠莲指导老师：岳宗敏解的存在唯一性定理证明及其研究摘要线性微分方程是常微分课本中的重要组成部分，线性微分方程组解的存在唯一性是最重要，也是不可或缺的一部分，通过课本所学知识运用逐步逼近法以及压缩映射原理分别对一阶，高阶线性微分方程组解的存在唯一性进行的详细的论述证明。
对于线性方程组解的情况，主要是通过对增广矩阵进行初等行变换，了解其秩的情况，在运用克莱默法则，从而得出其解的存在唯一性的情况。
关键词：解的存在唯一性 线性微分方程组 线性方程组（一）一阶微分方程的解的存在唯一性定理与逐步逼近法存在唯一性定理 考虑初值问题),(y x f dxdy= 00)(y x y = （1）其中f(x,y)在矩形区域R ：b y y a x x ≤-≤-||,||00 （2）上连续，并且对y 满足Lipschits 条件：即存在常数L>0（L 为利普希茨常数），使不等式|||),(),(|2121y y L y x f y x f -≤-对所有R y x y x ∈),(),,(21都成立,则初值问题(1)在区间h x x ≤-||0上解存在且唯一，这里|),(|max ),,min(),(y x f M Mba h R y x ∈==证明思路：1.初值问题（1）的解存在等价于求积分方程⎰+=xx dy y x f y y 0),(0 （3）的连续解。
2.构造（3）所得解函数序列{)(x n ϕ}，任取一连续函数)(0x ϕ，b y x ≤-|)(|00ϕ代入（3）右端的y ，得……2,1,))(,()(001=+=⎰+n dx x x f y x xx n n ϕϕ3.函数序列{)(x n ϕ}在|,|00h x h x +-上一致收敛到)(x ϕ。
这里为)(x n ϕ=dx x x f y n xxn ))(,(lim 1-00ϕ⎰∞→+dxx x f y x x f y xxxx n ⎰⎰+=+=∞→0))(,())(,(lim 01-n 0ϕϕ4．)(x ϕ为（3）的连续解且唯一。
首先在区间],[00h x x +是讨论，在错误！未找到引用源。
上类似。
证明过程：命题1 ：初值问题（1）等价于积分方程⎰+=xx dx y x f y y 0),(0 （3）证明：若)(x y ϕ=为（1）的解，则：⎪⎩⎪⎨⎧==00)())(,()(y x x x f dxx d ϕϕϕ 对第一式从0x 到x 取定积分可得⎰≡-xx dx x x f x x 0))(,()()(0ϕϕϕ即dx x x f y x xx ⎰+=0))(,()(0ϕϕ反之，若)(x y ϕ=为（3）的连续解。
，则有dx x x f y x xx ⎰+=0))(,()(0ϕϕ由于f(x,y)在R 上连续，从而))(,(x x f ϕ连续。
故对上两式两边求导得))(,()(x x f dxx d ϕϕ= 且000))(,()(0y dx x x f y x xx =+=⎰ϕϕ即y x =)(ϕ为（1）的连续解。
下面取00)(y x =ϕ，构造picard 逐步逼近函数如下：）2,1（,))(,()()(0010000=+≤≤+==⎰-n h x x x d f y x y x xxn n ξξϕξϕϕ （4）命题2：对于所有)(,）,（和00x h x x x n n ϕ+∈连续且满足 b y x n ≤0-）(ϕ证明：(用数学归纳法证明)当n=1时，⎰+=xx d y f y x 0,),()(001ξξϕ虽然在)](,[0x h x n ϕ+上连续且b Mh x x M d y f d y f y x xxx≤≤-≤≤=-⎰⎰)(),(|),(||)(|00x0010ξξξξϕ设命题2当k n =时成立。
即)(x k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续，且b y x h ≤-|)(|0ϕ当1+=k n 时，⎰+=+xxk d f y x 0,)）（,()(k 01ξξϕξϕ由),(y x f 在R 上连续可知，))(,(x x f k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续从而)(1x k +ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上连续且b Mh x x M d y f d x f y x zz z z k k ≤≤-≤≤=-⎰⎰+)(),(|))(,(||)(|00010ξξξϕξϕ故命题2在1==k n 时成立，故由数学归纳法得知，命题2对所有n 成立。
命题3：函数序列)(x k ϕ在)](,[0x h x n ϕ+上一致收敛。
证明：考虑函数级数：],[),())()(()(00110h x x x x x x x n n k k +∈=-+∑∞=-ϕϕϕϕ （5）它的部分和为)())()(()()(110x x x x x s n mk k k n ϕϕϕϕ=-+=∑=-于是{)(x n ϕ}一致收敛性等于级数（5）的一致收敛性等价，我们对级数（5）的通项进行诂计200010112x 001)(!2)(）（由利普希茨条件得到|)()(|)）（，（))(,(|)()(|)()(,(|)()(|000x x MLd x M L d L d f f x x x d f x x xx x x xxn x-=-≤-≤-≤-=≤-⎰⎰⎰⎰ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕϕξξϕξϕϕ设对正整数n 有不等式n n n n x x MML x x )(|)()(|011-≤---ϕϕ则当h x x x +≤≤00时，由Lipschits 条件有100111)()!1()(!|)()(|))(，()）(,(|)()(|0+--+-+=-≤-≤-≤-⎰⎰⎰n nnxxnx x n n xxn n n n x x n ML d x n ML d L d f f x x ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ于是，由数学归纳法得知，对所有的正整数n 有n n n n x x n ML x x )(!|)()(|011-≤---ϕϕ h x x x +≤≤00 （6）从而当h x x x +≤≤00时nn n n h n ML x x !|)()(|11--≤-ϕϕ由于正级数∑∞=-11!n nn h n ML 收敛，由魏尔斯特拉斯（weierstrass ）判别法知，级数（5）在],,[00h x x +一致收敛，因而{)(x n ϕ}在],,[00h x x +上一致收敛。
现设)()(lim x x n n ϕϕ=∞→，h x x x +≤≤00，则由)(x n ϕ连续性和一致收敛性得)(x ϕ在],,[00h x x +上连续且b y x ≤-|)(|0ϕ。
命题4.)(x n ϕ是积分方程(3)的定义于],,[00h x x +上的连续解. 证明：由Lipschits 条件|)()(||))(,()(,(|x x L x x f x x f n n ϕϕϕϕ-≤-以及{)(x n ϕ}在],,[00h x x +上的一致收敛,解出函数列{)(x f n },))(,()((x x f x f n n ϕ=在],,[00h x x +上的一致收敛于函数）)(,(x x f n ϕ.因而对(4)两边取极限.得到⎰⎰-∞→-∞→∞→+=+=xx n n xx n n n n d f y d f y x 00))(,(lim ))(,(lim )(lim 1010ξξϕξξξϕξϕ即⎰+=xxd f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ这表明)(x ϕ是积分方程(3)在],[00h x x +的连续解.命题5: 设错误！未找到引用源。
是积分方程(3)的定义于h x x x +≤≤00上的一个连续解.则)()(x x ψϕ=,]x ,[00h x x +∈证明：令|)()(|)(x x x g ψϕ-=则)(x g 是定义在],,[00h x x +的的非负连续函数.由)(x ϕ和)(x ϕ所满足的积分方程式和).(0y x f 的Lipschits 条件得ξξξξψξϕξξψξξϕξd g L d L d f f x g xx x x xx ⎰⎰⎰=-≤-≤)(|)()(||))(,())(,(|)(令ξξd g L x u xx ⎰=0)()(则)(x u 是定义在],[00h x x +上的连续函数且)()('),()(0,0)(x Lg x u x u x g x u =≤≤=于是0)')()()('(),()('≤=-≤-Lx e x u x u x u x Lu x u 对最后一个不等式从0x 到x 积分得0)()(00=≤--Lx Lx e x u e x u故0)()(≤≤x u x g ,即,0)(=x g ],[00h x x x +∈综合命题1-5即得存在唯一性定理的证明。
（二）n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性定理证明n 阶线性微分方程，是一类具有特殊结构的微分方程，它是微分方程的重要组成部分。
在自然科学与工程技术中有着广泛的应用。
例如，弹簧震动中它的下端着物体运动方程：);(22x f cx dt dxdt dt x d m =++μ以及电荷量q 的微分方程：E cqdt dq R dt q d L =++22等都是二阶线性微分方程。
一般n 阶线性微分方程可写成如下形式：)()(...)(111x F y x a dxyd dx x a dx y d n n n n n =+++-- （1） 方程的初值条件记为：1011000)(,...,)(,)(--===n n c x y c x y c x y （2）我们有如下结论：定理：（n 阶线性微分方程初值问题解的存在性与唯一性） 设)(x a i （i=1,2,...n)和)x F （均在区间I 上连续，则对任一∈0x I 和任意n 个常数,,...,110-n c c c 方程（1）恒有且只有一个定义在整个区间I 上且满足初值条件（2）的解。
同理用逐步逼近法证明n 阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性。
(1)、把n 阶线性微分方程初值问题（1）、（2）化成与它等价的一阶线性微分方程，再引进向量和矩阵记号得方程组：)()(x f y x A dxdy+= （NH ） 初值条件为：ξ==)(0x y （3）(2)、把初值问题（NH)化成下列等价的积分方程组：()ds s f s y s A x x y x ⎰++=0()()()(）ξ （4） 即：如果)(x y ϕ=是初值问题（NH ），（3）的解，则它是积分方程组（4）的连续解；反之，如果)(x y ϕ=是积分方程组（4）的连续解，则它必是初值问题（NH ）,（3）的连续解。