抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。

它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。

例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。

又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。

2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。

例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。

解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。

二、证明单调性和奇偶性1.证明单调性例4．已知函数f(x)= 1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数. g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R)求证： f(x)是R 上的增函数解:设x 1>x 2g(x)是R 上的增函数, 且g(x)>0∴ g(x 1) > g(x 2) >0∴g(x 1)+1 > g(x 2)+1 >0 ∴ 1)(22+x g >1)(21+x g >0 ∴ 1)(22+x g -1)(21+x g >0 ∴ f(x 1)- f(x 2)=1)(1)(11+-x g x g - 1)(1)(22+-x g x g =1-1)(21+x g -(1-1)(22+x g ) =1)(22+x g -1)(21+x g >0 ∴ f(x 1) >f(x 2)百度文库 - 让每个人平等地提升自我∴ f(x)是R 上的增函数 例5．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。

证明： 对一切x y R ，∈有f x y f x f y ()()()+=⋅。

且f ()00≠，令x y ==0，得f ()01=，现设x >0，则-<x 0，f x ()->1，而f f x f x ()()()01=⋅-= ∴-=>f x f x ()()11 ∴<<01f x ()，设x x R 12，∈且x x 12<，则0121<-<f x x ()，f x f x x x ()[()]2211=-+=-⋅<f x x f x f x ()()()2111∴>f x f x ()()12，即f x ()为减函数。

2.证明奇偶性例6．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。

分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1，得f f f f ()()()()11110=+⇒=令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-=于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11故f x ()是偶函数。

三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

例7．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。

解： f x ()是偶函数，且在（0，1）上是增函数，∴f x ()在()-10，上是减函数，由-<-<-<-<⎧⎨⎩1211412a a 得35<<a 。

（1）当a =2时，f a f a f ()()()-=-=2402，不等式不成立。

（2）当32<<a 时， f a f a f a a a a a a ()()()-<-=-⇔-<-<-<-<->-⎧⎨⎪⎩⎪<<24412014024322222解之得，（3）当25<<a 时，f a f a ()()-<-242 =-⇔<-<<-<-<-⎧⎨⎪⎩⎪<<f a a a a a a ()22240210412425解之得，综上所述，所求a 的取值范围是()()3225，， 。

例8．已知f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。

解： m x m x m x m x 22223131-≤++≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪sin cos sin cos对x R ∈恒成立⇔-≤-≥++⎧⎨⎪⎩⎪m x m x m x22231sin sin cos 对x R ∈恒成立⇔ m x m m x x x 2222311254-≤--≥+=--+⎧⎨⎪⎩⎪sin sin cos (sin ) 对x R ∈恒成立， ∴-≤--≥⎧⎨⎪⎩⎪∴-≤≤-m m m m 223115421102为所求。

四、不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。

例9．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。

解：设x x R 12、∈且x x 12<则x x 210->∴->f x x ()212，即f x x ()2120-->，∴=-+=-+->∴>f x f x x x f x x f x f x f x f x ()[()]()()()()()22112111212故f x ()为增函数，又f f f f f ()()()()()3212123145=+=+-=-=∴=∴--<=--<∴-<<f f a a f a a a ()()()1322312211322，即因此不等式f a a ()2223--<的解集为{}a a |-<<13。

2. 讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例10．已知函数f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，且对一切实数x ，不等式f k x f k x (sin )(sin )-≥-22恒成立，求k 的值。

分析：由单调性，脱去函数记号，得 k x k x k xk x k k x 222222*********-≤-≤-⎧⎨⎪⎩⎪⇔≤+-+≥-⎧⎨⎪⎩⎪sin sin sin sin ()(sin )(2)由题意知(1)(2)两式对一切x R ∈恒成立，则有 k x k k x k 2222111412941≤+=-+≥-=⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⇒=-(sin )(sin )min max五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

例11．已知函数f x ()是定义域为R 的偶函数，x <0时，f x ()是增函数，若x 10<，x 20>，且||||x x 12<，则f x f x ()()--12，的大小关系是_______。

分析： x x 1200<>，且||||x x 12<，∴<-<⇒-<<001221x x x x又x <0时，f x ()是增函数，∴-<f x f x ()()21f x ()是偶函数，∴-=f x f x ()()11故f x f x ()()->-12六、综合问题求解解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f ”。

例12.设函数y f x =()定义在R 上，当x >0时，f x ()>1，且对任意m n ，，有f m n f m f n ()()()+=⋅，当m n ≠时f m f n ()()≠。

（1）证明f ()01=；（2）证明：f x ()在R 上是增函数；（3）设{}A x y f x f y f =⋅<()|()()()，221，B x y f ax by c a b c R a =++=∈≠{()|()}，，，，，10，若A B =∅，求a b c ，，满足的条件。

解：（1）令m n ==0得f f f ()()()000=⋅，∴=f ()00或f ()01=。

若f ()00=，当m ≠0时，有f m f m f ()()()+=⋅00，这与当m n ≠时，f m f n ()()≠矛盾，∴=f ()01。