课题（章节）1．6 三角函数模型的简单应用（二）
教学目标
能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律；
能根据问题的实际意义，利用模型解决有关实际问题；
通过三角函数模型的简单应用，培养学生应用数学知识解决问题的能力。

教学重点用三角函数模型解决具有周期变化规律的实际问题
教学难点将某些实际问题抽象为三角函数模型，对实际意义的数学解释
课的类型新授课时间45分钟
教学时数1课时教具几何画板课件，计算器
板书设计
（提纲）三角函数模型的简单应用（二）
将实际问题抽象为三角函数模型：建模的基本思路：
例题：1．根据数据作散点图
2．根据图像进行函数拟合
3．选择恰当的函数模型
本题小结：4．利用函数模型解决实际问题
教学过程：
新课引入：
问题：对于三角函数模型，我们都学习了哪几个方面的应用？
引入：利用三角函数模型我们还可以解决哪些问题呢？
教学情景：
将实际问题抽象为三角函数模型：
例：海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮。

一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。

在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；在落潮时返回海洋。

下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻水深/米时刻水深/米时刻水深/米
0：00 5．0 9：00 2．5 18：00 5．0
3：00 7．5 12：00 5．0 21：00 2．5
6：00 5．0 15：00 7．5 24：00 5．0
选用一个函数来近似描述这个港口的水深与实间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0．001）；
一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1．5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？
若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1．5米，该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0．3米的速度减少，那么该船在什么时候必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析：1．观察表格中的数据，你发现了什么规律？（从所给数据中发现周期性变化规律）；
2．要求学生根据数据作出散点图，观察徒刑，你认为可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律？（引导学生根据散点图的特点选择函数模型）；
3．引导学生与“五点法”联系，求出函数模型的解析式；
4．根据所得的函数模型，求出整点时的水深；（利用计算器）
5．引导学生正确理解题意，利用函数模型解决实际问题，求出第（2）问，并对答案进行合理地解释；（利用计算器进行计算）
6．引导学生正确理解第（3）问，用函数模型刻画安全水深，并对答案做出合理地解释
解：(1)以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：
根据图像，可以考虑用函数
sin()
y A x h
ωϕ
=++刻画水深与时间之间的对应关系。

从数据和图象可以得出：
2.5,5,12,0
A h Tϕ
====，由
2
12
T
π
ω
==
，得6
π
ω=。

所以，这个港口的水深与时间的关系可用
2.5sin5
6
y x
π
=+
近似描述。

由上述关系式，易得港口在整点时水深的近似值：
时刻0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 6：00 7：00
水深5．000 6．250 7．165 7．500 7．165 6．250 5．000 3．754
时刻8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
水深2．835 2．500 2．835 3．754 5．000 6．250 7．165 7．500
时刻16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00
水深7．165 6．250 5．000 3．754 2．835 2．500 2．835 3．754
（2）货船需要的安全水深为4+1．5=5．5（米），所以
5.5
y≥时就可以进港。

令
2.5sin
5 5.5
6
x π
+=，得
sin
0.2
6
x π
=，由计算器可得arcsin0.20.2014≈。

如下图，在区间[0，12]内，函数
2.5sin
5
6
y x π
=+的图象与直线 5.5y =有两个交点,A B ，因此
0.2014,
6
x π
≈或
0.2014
6
x π
π-
≈。

解得
0.3848, 5.6152
A B x x ≈≈，由函数的周期性易得
120.384812.3848
C x ≈+=，
12 5.615217.6152
D x ≈+=
因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出钢；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港。

每次可以在港口停留5小时左右。

（3）设在时刻x 货船的安全水深为y ，那么 5.50.3(2)(2)y x x =--≥。

在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6~7时之间两个函数图象有一个交点（如下图）
通过计算可以得到这个结果。

在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4．3米；6．5时水深约为4．2米，此时货船的安全水深约为4．1米；7时的水深约为3．8米，而货船的安全水深约为4米。

因此为了安全，货船最好在6．5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域。

思考：在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货行吗？为什么？
课堂小结：教师引导学生概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤： 根据所给数据作出散点图；
利用散点图进行函数拟合，求出三角函数模型；
根据三角函数模型解决实际问题。

课堂练习：教材65页练习3 课后作业：
以下是同学们在互联网上得到的北京每月15日日出时间的数据： 日期 1月15日 2月15日 3月15日 4月15日 5月15日 6月15日 时刻 7：35 7：08 6：27 5：38 5：00 4：45 日期 7月15日 8月15日 9月15日 10月15日 11月15日 12月15日 时刻 4：58 5：26 5：55 6：24 6：58 7：29
（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找出函数模型； （2）如果你准备在国庆节去北京天安门广场看升旗，你最好在什么时间到达天安门广场？
教学反思：。