原子物理学习题解答1.1 电子和光子各具有波长0.20nm,它们的动量和总能量各是多少? 解：由德布罗意公式p h /=λ,得：m/s kg 10315.3m1020.0s J 1063.624934⋅⨯=⨯⋅⨯===---λhp p 光电)J (109.94510310315.316-824⨯=⨯⨯⨯====-c p hch E 光光λν21623116222442022)103101.9(103)10315.3(⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=--cm c p E 电电)J (1019.8107076.61089.9142731---⨯=⨯+⨯=1.2 铯的逸出功为1.9eV ,试求: (1)铯的光电效应阈频率及阈值波长;(2)如果要得到能量为1.5eV 的光电子,必须使用多大波长的光照射?解：(1) 由爱因斯坦光电效应公式w h mv -=ν2021知,铯的光电效应阈频率为:Hz)(10585.41063.6106.19.11434190⨯=⨯⨯⨯==--hw ν阈值波长: m)(1054.610585.4103714800-⨯=⨯⨯==νλc(2) J 101.63.4eV 4.3eV 5.1eV 9.12119-20⨯⨯==+=+=mv w h ν故: m)(10656.3106.14.31031063.6719834---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯===ννλh hc c1.4 若一个电子的动能等于它的静止能量,试求：(1)该电子的速度为多大?(2)其相应的德布罗意波长是多少? 解：（1）由题意知，20202c m cm mcE k =-=，所以20222022/1c m cv cm mc=-=23c v =⇒ （2）由德布罗意公式得： )m (104.1103101.931063.632128313400---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=====cm h vm h mvh ph λ1.5 (1)试证明: 一个粒子的康普顿波长与其德布罗意波长之比等于2/120]1)/[(-E E ,式中0E 和E 分别是粒子的静止能量和运动粒子的总能量.(2)当电子的动能为何值时,它的德布罗意波长等于它的康普顿波长? (1)证明：粒子的康普顿波长:c m h c 0/=λ德布罗意波长: 1)/(1)/(2020204202-=-=-===E E E E cm hccm E hc mvh p h cλλ所以, 2/120]1)/[(/-=E E c λλ(2)解：当c λλ=时，有11)/(20=-E E ，即：2/0=E E 02E E =⇒故电子的动能为：2000)12()12(c m E E E E k -=-=-=)J (1019.8)12(109101.9)12(141631--⨯⨯-=⨯⨯⨯⨯-=MeV 21.0eV 1051.0)12(6=⨯⨯-=1.6 一原子的激发态发射波长为600nm 的光谱线,测得波长的精度为710/-=∆λλ,试问该原子态的寿命为多长?解： 778342101061031063.6)(---⨯⨯⨯⨯⨯=∆⋅=∆-=∆=∆λλλλλνhcch h E )J (10315.326-⨯=由海森伯不确定关系2/ ≥∆∆t E 得：)s (1059.110315.32100546.1292634---⨯=⨯⨯⨯=∆≥=∆E tτ1.7 一个光子的波长为300nm,如果测定此波长精确度为610-.试求此光子位置的不确定量.解： λλλλλλλλ∆⋅=∆≈∆+-=∆h h h h p 2，或： λλλλλνννν∆⋅=∆=∆-=∆+-=∆h c c h c h c h c h p 2)( m/s)kg (1021.2101031063.6336734⋅⨯=⨯⨯⨯=---- 由海森伯不确定关系2/ ≥∆∆p x 得：)m (10386.21021.22100546.1223334---⨯=⨯⨯⨯=∆≥∆px2.2 当一束能量为4.8MeV 的α粒子垂直入射到厚度为5100.4-⨯cm 的金箔上时,探测器沿20°方向每秒纪录到4100.2⨯个α粒子.试求:(1)仅改变探测器安置方位,沿60°方向每秒可纪录到多少个α粒子? (2)若α粒子能量减少一半,则沿20°方向每秒可测得多少个α粒子? (3) α粒子能量仍为4.8MeV ,而将金箔换成厚度相同的铝箔, 则沿20°方向每秒可纪录到多少个α粒子?(金和铝的密度分别为19.3g/cm 3和2.7g/cm 3,原子量分别为197和27,原子序数分别为79和13.忽略核的反冲). 解：由公式, )2/(sin /')()41('422222θπεrS Mv ZeNnt dN =)2/(sin /')2()41(42222θπεαrS E ZeNnt =(1) 当︒=60θ时, 每秒可纪录到的α粒子2'dN 满足:01455.030sin10sin )2/(sin )2/(sin ''44241412=︒︒==θθdN dN故 241210909.210201455.0'01455.0'⨯=⨯⨯==dN dN (个)(2) 由于2/1'αE dN ∝,所以 413108'4'⨯==dN dN (个)(3) 由于2'nZ dN ∝,故这时:31211342442112441410/10/''--⨯⨯==A Z N A Z N Z n Z n dN dN A A ρρ55310227793.19197137.2''4221421112444=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=dN A Z A Z dN ρρ(个)2.3 动能为40MeV 的α粒子和静止的铅核(Z=82)作对心碰撞时的最小距离是多少? 解：由公式: ])2/si n(11[241220θπε+=Mv Zer m , 当对心碰撞时,πθ=,1)2/sin(=θ,则m)(109.5106.11040)106.1(8221092411519621992---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==απεE Ze r m2.4 动能为0.87MeV 的质子接近静止的汞核(Z=80),当散射角2/πθ=时,它们之间的最小距离是多少? 解：最小距离为:])2/sin(11[241])2/sin(11[412220θπεθπε+=+=p p m E Zev m Zerm)(1060.1]45sin 11[106.11087.02106.180109131962199---⨯=︒+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯=）（2.5 试证明α粒子散射中α粒子与原子核对心碰撞时两者间的最小距离是散射角为90°时相对应的瞄准距离的两倍。

证明：由库仑散射公式：2cot2412020θπεMvZe b =，当︒=90θ时，12cot=θ，这时2020241MvZe b πε=而对心碰撞的最小距离：b Mv ZeMv Zer m 22241])2/sin(11[241220220=⋅=+=πεθπε证毕。

2.6 已知氢的赖曼系、巴尔末系和帕邢系的第一条谱线的波长分别为：121.6nm,656.3nm 和1875.1nm.由此还可以求出哪些系的哪几条谱线来?它们的波长各为多少?解: 由题意知: 116.121/1)2()1(-==-λT T (1)11'3.656/1)3()2(-==-λT T (2) 11"1.1875/1)4()3(-==-λT T (3)由(1)+(2)式得: 111112')3()1(---+==-λλλT T nm 59.1022=⇒λ 由(1)+(2)+(3)式得: 11111113"')4()1(----++==-λλλλT T nm 27.973=⇒λ由(2)+(3)式得: 111112"'')4()2(---+==-λλλT T nm 145.486'2=⇒λ其中,2λ和3λ分别是赖曼系第二、三条谱线; 2'λ是巴尔末系第二条谱线.2.7 试由氢原子里德伯常数计算基态氢原子的电离电势和第一激发电势.解: 电子经电势差为U 的电场加速后,若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子电离,则U 称为该原子的电离电势; 若它得到的动能全部被原子吸收恰能使处于基态的原子激发到第一激发态,则U 称为该原子的第一激发电势.由 22nZ h c R E Hn -= , ,2,1=n ，对于基态氢原子, Z=1,由 13.64e V J 10097.11031063.678341=⨯⨯⨯⨯⨯==--∞H hcE E E 得电离电势为13.64V 由 eV 23.104313.64eV )211(212=⨯=-=-HhcEE E得第一激发电势为10.23V .2.8 对于氢原子、一次电离的氦离子He +和两次电离的锂离子Li 2+，分别计算它们的：（1）第一、第二玻尔轨道半径及电子在这些轨道上的速度；（2）电子在基态的结合能；（3）第一激发电势及共振线的波长。

解：（1）He +：680211038.4210313714⨯=⨯⨯⨯==⋅=cZ Z ev απε(m/s)6811019.2110313712⨯=⨯⨯⨯=⋅=Z c v α(m/s) )nm (0265.021053.0111=⨯==Za r)nm (106.024053.02212=⨯==Za rLi 2+：6811057.631031371⨯=⨯⨯⨯==cZ v α(m/s) 68110285.32310313712⨯=⨯⨯⨯=⋅=Z c v α(m/s))nm (0177.031053.0111=⨯==Z a r)nm (0708.034053.02212=⨯==Za r（2）电子在基态的结合能等于把电子从基态电离所需要的能量：22211Z hcRZhcR E E E HH==-=∆∞对于He +有：56.5422=⋅=∆H hcR E (eV) 对于Li 2+有：76.12232=⋅=∆H hcR E (eV)（3）HHhcRZ Z Z hcRE E 43)21(2222212=-=-对于He +有：8.406.1333423212=⨯==⨯=-HHhcRhcRE E (eV)所以He +的第一激发电势为40.8V对于Li 2+有：8.916.13427433212=⨯=⨯=-HhcRE E (eV)所以Li 2+的第一激发电势为91.8V .共振线波长:30nm m)(1030.03712=⨯==-=-+HHe hcRhcE E hc λnm 5.31m)(10135.02747122=⨯==-=-+HLihcRhc E E hc λ2.9 能量为12.6eV 的电子射入氢原子气体中，气体将发出哪些波长的辐射？ 解： 由22eV 6.131nnhcRE Hn -=-=，得eV 6.131-=E ，eV 4.32-=E ，eV 51.13-=E ，eV 85.04-=E ，…而12.6eV eV 2.1012<=-E E ，12.6eV eV 09.1213<=-E E ， 但12.6eV eV 75.1214>=-E E ，所以气体将发出以下三种波长的辐射：m)(102188.1106.12.101031063.6719834121---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-=E E hc λm)(10028.1106.109.121031063.6719834132---⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-=E E hc λm)(105774.6106.1)51.14.3(1031063.6719834233---⨯=⨯⨯-⨯⨯⨯=-=E E hc λ2.11 一次电离的氦离子He +从第一激发态向基态跃迁时所辐射的光子，能使处于基态的氢原子电离，从而放出电子，试求该电子的速度。