取平均密度ρ1m =ρ1, ρ2m=ρ2,对（3.31）式两边积分
1m A1 u1dA1 2m A2 u2dA2
3.2 连续性方程
设v1，v2是平均速度，A1，A2是有效断面面积,则上式可写为：
1mv1A1 2mv2 A2
(3.33)
式（3.33）物理意义：对可压缩流体稳定流，沿流程的质量流 量保持不变。
3.1 流体运动的基本概念 3.1.5 流量与平均速度
流量——单位时间流过有效断面的流体的量
dQ=udA
总的体积流量
Q Q dQ AudA
引入平均速度v，则有
Q AudA vAdA
v A dQ Q AdA A
(3.18)
3.2 连续性方程 3.2.1 直角坐标系的连续性方程
推导方法——微元平衡法 即在流场中取一微体积元，建立该微体积元的质量守恒。
研究对象：流体质点
空间坐标
x xa,b, c,t y ya,b, c,t z za,b, c,t
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日数。
所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数。
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。
2、 流线：同一时刻，不同质点的流动方向线。如下图示。
流线概念
3.1 流体运动的基本概念 流线含义： 1.流场中某时间的一条空间曲线； 2.在该线上各流体质点的速度方向与该曲线的切线方向相重合。 流线特征： 1.非稳定流时，随时间改变； 2.稳定流时，不随时间改变（此时流线上质点的迹线与流线重合） 3.流线不能相交，也不能转折； 4.流线疏密的含义——反映流速大小。
V1=16.32m/s， V2=4.08m/s， V3=1.02m/s
例： 断面为50×50cm2的送风管，通过
a，b，c，d四个40×40cm2
12
3
的送风口向室内输送空气，Q0 a b c d
送风口气流平均速度均为5m/s， 1 2 3
求：通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速 和流量。
不同边界的流线图
3.1 流体运动的基本概念
流线微分方程（推导略）：
dx dy dz ux uy uz
3.1.4 流管、流束、流量
(3.12)
流管--取流场内一封闭线l，在曲线上各点作流线，构成的管
状表面
流束——在流管内取一微小曲面的
dA,通过曲面dA上各点作流线，这一实心
流线束叫流束。
总流——无数流束所组成的总流束。 有效断面——流束内与流线正交的面。
第3章 流体动力学
3.1 流体运动的基本概念
流场——充满运动流体的空间 动力学——研究流体质点在流场中所占有的空间的一切点上， 运动参数（速度、加速度、压强、粘性力）随时间和空间位置的分 布和连续变化规律。 3.1 流体运动的基本概念
3.1.1 描述流体运动的两种方法
1.拉格朗日方法（lagrangian method）是以流场中 每一流体质点作为描述流体运动的方法，它以流体个 别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点 （即质点系）运动求得整个流动。——质点系法
ux ux (x, y, z,t) P P(x, y, z,t)
稳定流--运动参数只随位置变化，即
ux ux (x, y, z)
稳定流的数学条件
P P(x, y, z)
u
t p
0 0
t
(3.10)
非稳定流
稳定流
3.1 流体运动的基本概念 3.1.3 流场的描述
1、 迹线：同一质点一段时间内运动的轨迹线。每一质点 有一迹线，与时间无关。
（2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
流体质点速度为：
vx v y
xa，b，c，t
t
y a，b，c，t
t
vz
z a，b，c，t
t
流体质点加速度为：
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如：
p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
dM dMx dMy dMz
(u
x
x
)
(u
y
y
)
(u
z
z
)
dxdydzdt
质量累积—— dM ' dtdxdydz (3.23)
t
(3.22)
3.2 连续性方程
由：质量输入输出差=累积 → 式（3.22）=（3.23）
(u
x
x
)
(
u
y
y
)
(u
z
z
)
dxdydzdt
t
dtdxdydz
对单位时间、单位空间，有：
(ux ) (uy ) (uz ) 0 (3.25) 流体的连续性方程
x
y
z t
物理意义——流体在单位时间内流经单位体积空间输出与输入 的质量差与其内部质量变化的代数和为零
3.2 连续性方程
将（3.25）式展开，有：
t
u x x
ux
x
u y y
uy
y
u z z
在流场中取一微元体dxdydz，顶点A处的运动参数为：
p、ux、u y、uz
3.3 理想流体动量传输方程——欧拉方程
x方向： （1）压力
p p dy
y
z
D
C
P
P
P x
dx
dydz
P x
dxdydz
E
p
pF
p p dx x
（2）体积力
A
B
Xρdxdydz
（3）流体加速度
ma dxdydz dux
uz
z
0
(a)
因为流体密度ρ=f(x,y,z,t)
所以有全微分 d dt dx dy dz
t x y z
d
dttBiblioteka uxxuy
y
uz
z
(b)
将式（b)代入式（a),方程两边同除以ρ，得：
1 d ux uy uz 0 (c) dt x y z
3.2 连续性方程
引入哈密顿算子：
ax
vx t
2 xa，b，c，t
t 2
a y
v y t
2 ya，b，c，t
t 2
az
vz t
2 z a，b，c，t
t 2
由于流体质点的运动轨迹非常 复杂，而实用上也无须知道个 别质点的运动情况，在工程流 体力学中很少采用。
3.1 流体运动的基本概念
2 欧拉法——以速度作为描述流体在空间变化的变量，即主要研究
dt
H
p p dz
G
p
0
z
x
y
理想流体微小平行六面体
ma F dxdydz dux Xdxdydz p dxdydz
dt
x
(3.37)
3.3 理想流体动量传输方程——欧拉方程
化简后得
X 1 P dux
x dt
同理可得Y、Z方向的受力平衡式，综合可得：
X Y
1
1
P x P y
)
dx]dydz
时间dt内，x方向输入输出之差： 0
ux A •
dy
dx
dz ux dx x
x
dM x
(ux )
x
dxdydzdt
y
3.2 连续性方程
同理，y方向，有：
dM y
(uy )
y
dxdydzdt
Z方向，有：
dMz
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内x、y、z三方向输入输出差的总和为：
流体速度在空间的分布
ux ux (x, y, z,t)
u 速度可表示为空间（x,y,z)及时间(t)的函数 y
uy (x,
y, z,t)
uz uz (x, y, z,t)
(3.1)
u ux2 uy2 uz2
加速度（以x方向为例）：对函数ux求全微分，有
dux
ux t
dt
ux x
dx
ux y
3.4 实际流体动量传输方程——纳维尔-斯托克斯方程
实际流体, 0,有粘性力(切应力)
微元体受力分析： z
垂直于x轴的两个平面
左侧面
压应力： pxx
切应力： xz、
xy
xy
pxx
角标1-应力作用面的外法线方向
xz
角标2-应力的作用方向
xz
xz
x
dx
p xx
p xx x
dx
xy
xy
x
9.6m s
Q0
V2
Q2 A
1.6 0.5 0.5
6.4
m
s
V3
Q 3
A
0.8 0.5 0.5
3.2m s
a bc d
12
3
3.3 理想流体动量传输方程——欧拉方程 方程推导依据：F=ma或动量守恒定律
推导方法：对微元控制体dxdydz运用F=ma或动量守恒定律。
作用在微元体上的力有：
表面力 P; 质量力 X、Y、Z
对不可压缩流体：ρ=常数，式（3.33）变为：
v1A1 v2 A2 (3.34)
v1 A2 v2 A1
(3.35)
式（3.34）物理意义：对不可压缩流体沿流程体积流量不变，
是不可压缩流体运动的基本规律。
例3-1、例3-2
例： 如图，d1=2.5cm,d2=5cm,d3=10cm。1）当流量为 4L/s时，求各管段的平均流速。2）旋转阀门，使流