12
摩擦力：BD面： 0dx
x方向的合外力：P
Pd
P
dP dx
dx
P
d dx
dx
0dx
dP dx 0dx dx
依动量定理有：d ( dx
v 2x dy )dx
v
d dx
(
v x dy )dx
dP dx
dx
0dx
6
4.2.2 微分方程的解:
vx
vx x
vy
vx y
2vx y 2
vx vy 0 x y
布拉修斯对上方程组引入流函数 ( x, y), 将偏微分
方程化为可解的常微分方程
vx
y
vy
x
将流函数带入上面的方程组
并认为层流边界层内沿x轴各截面的速度分布图象相似
vx F( y )
v
又依 1 则 x
)
N s
vx
vy x
vy
v y y
1
P y
(
2vy x 2
2vy y 2
)
连续 : vx vy 0 x y
依边界层的特征, 用数量级比较法对上式进行简化
边界层微分方程可表为 :
vx
vx x
vy
vx y
1
P x
2vx y 2
平板表面边界层
P y
0
又势流区vx
v, 无压力降,依
流体柏努利方程,故有平板表面 P 0 x
v∞
v∞
紊流核心区
v∞
vx
缓冲区 vx
层流底层
4
一般平板 :
实验表明 : 4.1.3 管流边界层:
Le起始段
Rec 3105
1
L Re
层流
湍流
层流：当Re Re c,即层流边
界层在流过一段距离后其（x)
已达到或超过管轴，以后整个 管截面上均保持层流流动
vx呈抛物线分布 Le 0.05 Re D
解释: δ (x)与物体尺寸相比,一般是很薄的,只是紧靠 物体边界的薄层,故称其为边界层,但边界层内速度梯度 却很大。
2
依yx dvx ,即使很小， dvx 很大，故yx亦很大，在此范围内，
dy
dy
粘性效应是十分重要的。 边界层外，主流中dvx ＝0，其产生的切应力就小到可以忽略不计
dy
边界层理论的物理意义：
x
x
x
势流区流速是随x而变化的.
动量定律: 净输出控制体动量速率=作用于控制体 的合外力
C
y A
δ+dδ
δ
τ0
B
Dx
10
由AB面传入的动量：
从AB面流入的质量 vxdy
0
传入的动量 vx2dy
0
由CD面传出的动量：
从CD面传出的质量： 0
vxdy
d( dx
0
vxdy)dx
传出的动量
δ (x)为边界层厚度,是x的函数
规定vx=0.99vα时的y= δ(x),为边界层厚度.(严格要 求vx=vα可能达很远,且不易确定
1
Ⅲ
Ⅰ：边界层区
Ⅱ: 尾流区 Ⅲ 势流区
Ⅱ Ⅰ
在势流区内,因为 dvx 很小, 粘性的影响可忽略, dy
可近视为 0,给求解带来方便
依边界层的概念—切应力的影响只限于边界层内.
0
vx 2 dy
d dx
0
vx 2 dx
从AC面传入的动量：
从AC面流入的质量：M AC
M
ABM CD
d dx
(
0
vxdy)dx
从AC面流出的动量：v
d dx
(
0
vxdy)dx
11
x方向净输出动量的速率：
0
vx2dy
d dx
(
0
vx2dy)dx
0
vx2dy
v
d dx
(
0
vx dy )dx
x Re
Re
y
x
y Re
7
令 y y v
x
x
Re
: y向无因次尺寸
且确定流速函数的形式为 ( x, y) v x f ()
最后可变为 2 d 3 f () f () d 2 f ()
d3
d2
依边界条件,可计算出结果,见表5 1所示
可见 :
1. 层流边界层速度分布与实验值完全吻合.(为精确解)
2. 依定义,当vx 0.99v时y ( x)
则有 5.0 Rex
Re x
vx x
(有的为4.8)
3. 平板壁面上的摩擦阻力:
壁面切应力
0
vx y
y0
8
vx y
2
y 2
v
v
x
f ( 0)
由表可知 : y 0, 0 f () 0.33206
即 vx y
y0 0.33206v
v
x
即 0
vx y
y0 0.332v
v
x
总摩阻D : (b为板宽)
L
D 0dA b 0dx 0.664vb
A
0
总阻力系数 : Cd :
Cd
D
0.5 v2 A
1.328
Re L
当 Re 3 105时有效
Re L
9
4.3 边界层积分方程 层流:无压力梯度
层流：无压力梯度（势流 P 0, 湍流 P 0），当 P 0
第四章
4.1 边界层概念
4.1.1 边界层的定义
边界层流动
实验:在水口风柱筒中水平放置一块平板,待流动达到稳
定状态后,用皮托管测定近壁面处的速度分布线可发现
1. 在壁面上流动的速度为零—无滑脱边界条 件.(y=0,vx=0)
2. 随距壁面距离的增加,流体速度迅速增大,而在距壁 面不远的δ(x)处,流体的速度趋于与来流速度vx相 等,称此受固体壁面的影响速度急骤变化的区域 0≤y≤ δ(x)为边界层.
湍流边界层：靠近平板表面，粘性力仍处于主导地位 （距离y=面0,v板x=远0)处有的一流定体厚，度虽的流层速流略表小层于在v湍x,流但边已界变层得内较，大， 并为湍流，称其为湍流核心区。
在层流底层与湍流核心区之间存在一缓冲区
即：沿y方向上可分为三个区：层流底层，缓冲区，湍 流核心区。
层流边界层
过渡区 湍流边界层
把绕流物体流动分为两个部分，即边界层的流动和势流
流动，主流区流动未受到固体壁面的影响，不发生切
变，故
这种无切变，不可压缩流体的流动称为
势流。 yx 0
4.1.2 边界层的流态
层流边界层：开始进入表面的一段距离，δ较
小，
流体的扰动不够发展，粘性力起主导作用。
3
过渡区：随x的增大， δ也增大，惯性力作用 上升，层→湍转变为过渡区
d dx
(
0
vx2dy)dx
v
d dx
(
0
vx dy )dx
净输出控制体的动量之速率 作用于控制体的外力之和
外力 压力 摩擦力
压力： AB面： P
DC面：（P dP dx)( d dx)
dx
dx
[P dP dx P d dx)
dx
dx
AC面： Pds 在x方向投影为Pdx Pd
湍流：Re Re c，层 湍过渡边 界层仍未达管轴，即向湍流过渡， 近壁面为层流底层，大部分为 湍流核心 边界层的微分方程式
4.2.1 微分方程的建立
二维稳定流动(不可压缩忽略质量力)
vx
vx x
vy
vx y
1
P x
(
2vx x 2
2vx y 2