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2020北京市新高考二轮专题复习(二):三角函数与解三角形

2020新高考二轮专题复习(二):三角函数与解三角形•应知已会——熟练 •会而不对——巩固 •对而不全——强化 •全而不优——指导三角函数二轮复习的目标和方向(1)注重任意角三角函数的定义,深化公式的理解记忆 (2)二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 (3)三角函数的图象与性质是核心(4)解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题:一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换例 1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=( )A .45-B .35-C .35D .45变式 1.已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点(1,)A a ,(2,)B b ,且2cos23α=,则||(a b -= )A .15B CD .1变式 2.已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点34(,)55P --.(1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5sin()13αβ+=,求cos β的值.例2.若角α的终边在第二象限,则下列三角函数值中大于零的是( )(A )πsin()2α+ (B )πcos()2α+(C )sin(π)α+ (D )cos(π)α+变式1.若tan 0α>,则( )A. sin 20α>B. cos 0α>C. sin 0α>D. cos20α> 例3.已知α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=( )A .B .C .D .变式1.若 ,则( ) A .B .C .1D . 变式2.若,则tan2α=( )A .−B .C .−D . 变式3.已知,则( ) A .B .C .D .变式4.设(0,)2πα∈,(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=,则( ) A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=变式5.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则sin()αβ+= . 变式6. 已知4sin cos 3αα-=,则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质例 1.动点(),A x y 在圆422=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t (秒)的函数的解析式为 .例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数,则a 的最大值是( )A .π4B .π2C .3π4D .π2π155353tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-变式 1. 已知0>ω,函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减,则ω的取值范围是( )A .]45,21[B .]43,21[C .]21,0(D .]2,0(变式2.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示,则()f x 的单调递减区间为( ).A .13(,)44k k ππ-+,k Z ∈ B .13(2,2)44k k ππ-+,k Z ∈ C .13(,)44k k -+,k Z ∈ D .13(2,2)44k k -+,k Z ∈ 变式3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是_________________例3.函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ______ . 变式1.若x ∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 变式2.若,则函数的最大值为 .变式3. 函数xxy cos 3sin 1--=的值域___________.变式4.当时,函数的最小值为__________.例 4.函数图像可由函数图像至少向右平移____个单位长度得到.变式 1.函数cos(2)()yx ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平个单位后,与函数2π2π42x ππ<<3tan 2tan y x x =20π<<x x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=sin y x x =sin y x x =的图象重合,则ϕ=_________。

变式2.将函数的图像沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则的一个可能取值为( ) A .B .C .0D . 例5. 在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为( ) A .①②③ B .①③④ C .②④ D .①③变式1.(1)函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为_________.(2)函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π的零点个数为________.变式2.设函数()cos()3f x x π=+,则下列结论错误的是( )A .()f x 的一个周期为2π-B .()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C .()f x π+的一个零点为6x π=D .()f x 在(,)2ππ单调递减变式3.已知ω>0,0ϕπ<<,直线x =4π和x =54π是函数()sin()f x x ωϕ=+图像的两条相邻的对称轴,则ϕ=( ) A .π4 B .π3 C .π2 D .3π4例6.已知函数2()cos sin f x x x =+,那么下列命题中假命题...是( ) A.()f x 既不是奇函数也不是偶函数 B.()f x 在]0,[π-上恰有一个零点C.()f x 是周期函数D.()f x 在(,2π5π)6上是增函数变式 1.已知函数sin ()xf x x=(1)判断下列三个命题的真假: ①()f x 是偶函数;①()1f x < ;()sin 2y x ϕ=+x 8πϕ34π4π4π-①当32x π= 时,()f x 取得极小值. 其中真命题有 ;(写出所有真命题的序号)(2)满足()()666n n f f πππ<+的正整数n 的最小值为 . 变式2.设函数=sin ()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论:③ 在()有且仅有3个极大值点 ②在()有且仅有2个极小值点 ③在()单调递增 ④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是( ) A . ①④ B . ②③ C . ①②③ D . ①③④变式 3.设()f x =sin 2cos2a x b x +,其中,a b ∈R ,0ab ≠,若()()6f x f π≤对一切x ∈R 恒成立,则①11()012f π= ②7()10f π<()5f π③()f x 既不是奇函数也不是偶函数 ④()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦⑤存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图像不相交 以上结论正确的是 (写出所有正确结论的编号).变式4.已知函数( a 、b 为常数,,)在处取得最小值,则函数是( ) ()f x 5x ωπ+ω()f x []0,2π()f x 0,2π()f x 0,2π()f x 0,10πω1229510,x b x a x f cos sin )(-=0≠a R x ∈4π=x )43(x f y -=πA .偶函数且它的图象关于点对称B .偶函数且它的图象关于点对称C .奇函数且它的图象关于点对称D .奇函数且它的图象关于点对称 例7.设常数a R ∈,函数2()sin 22cos f x a x x =+.(1)若()f x 为偶函数,求a 的值;(2)若()14f π=,求方程()1f x =-ππ-[,]上的解. 例8.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时,列表并填入如下表:(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数()f x 的解析式;(①)将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度,得到()y g x =的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12,求θ的最小值. 例9.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+ (,x R ∈0ω>,0)2πϕ<<的部分图像如图所示.(Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)求函数的单调递增区间.)0,(π)0,23(π)0,23(π)0,(π()f x ()()()1212g x f x f x ππ=--+三、解三角形例1.设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若, 则△ABC的形状为( ) A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不确定变式1.在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为,,.若ABC ∆为锐角三角形,且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+,则下列等式成立的是( ) A . B . C .2A B = D .2B A = 变式 2.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c .若120C ∠=o,c =,则( )A .a b >B .a b <C .a b =D .a 与b 的大小关系不能确定例2.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ∆的面积为2224a b c +-,则C =( ) A .2π B .3π C .4π D .6π 变式1.已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,223cos cos 20A A +=,a =7,6c =,则b =( )A .10B .9C .8D .5变式 2.的内角的对边分别为.若,则的面积为__________.变式3.如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且,2AB AD AB ==,2BC BD =,则sin C 的值为( )cos cos sin b C c B a A +=a b c 2a b =2b a =ABC △,,A B C ,,a b c π6,2,3b ac B ===ABC △ABCD例3.如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为75o,30o,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于( )A.1)m B.1)m C.1)m D.1)m 变式1.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30o 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75o 的方向上,仰角为30o ,则此山的高度CD = m .变式2.如图,A ,B是海面上位于东西方向相距(53+海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45°,B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西60°且与B点相距C 点的救援船立即即前往营救,其航行速度为30海里/小时,该救援船到达D 点需要多长时间?C例4.在ABC ∆中,π4B =,则sin sin A C ⋅的最大值是( ) AB )34CD变式1.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,若sin a c A =,则a bc+的最大值为_________变式2.设,对于函数 ,下列结论正确的是( )A .有最大值而无最小值B .有最小值而无最大值C .有最大值且有最小值D .既无最大值又无最小值变式 3. 已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边,a =2,且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为 .变式4. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ;则下列命题正确的是 ________ .①若2ab c >;则3C π<②若2a b c +>;则3C π<③若333a b c +=;则2C π<④若()2a b c ab +<;则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<;则3C π>变式5.在ABC ∆ 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +=.(1)求角B 的大小;(2)若1a c += ,求b 的取值范围例 5.(2019全国Ⅰ)的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设.(1)求A ;(2,求sin C .0a >ABC △22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-2b c +=()sin (0)sin x af x x xπ+=<<变式1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,已知. (1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围.变式2. ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC ∆的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC ∆的周长.变式3. ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,已知sin 0A A +=,a =2b =.(1)求c ;(2)设D 为BC 边上一点,且AD ⊥AC ,求ABD ∆的面积.sin sin 2A Ca b A +=变式4. ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2sin()8sin2B A C +=. (1)求cos B(2)若6a c +=,ABC ∆面积为2,求b .。

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