浙江省杭州市拱墅区锦绣育才教育集团2020数学中考一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.（共10题；共30分）1.﹣2的绝对值是（ ）A. ﹣2B. 2C. 12D. ﹣ 12 2.下列计算正确的是（ ）A. m 4+m 3＝m 7B. （m 4） 3＝m 7C. 2m 5÷m 3＝m 2D. m （m ﹣1）＝m 2﹣m3.如图，P 为⊙O 外一点，PC 切⊙O 于C ，PB 与⊙O 交于A 、B 两点.若PA ＝1，PB ＝5，则PC ＝（ ）A. 3B. √5C. 4D. 无法确定4.为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）A. 3，3B. 5，2C. 3，2D. 3，55.某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天.若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x 天完成，则可列方程为（ ）A. x+1525+1530 ＝1 B.x+1530 + 1525 ＝1 C. 1530 + x−1525 ＝1 D. x−1530+ 1525 ＝1 6.如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A ，B ，C 和D ，E ，F ，且AB ＝3，BC ＝4，EF ＝4.8，则DE ＝（ ）A. 7.2B. 6.4C. 3.6D. 2.47.如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F.若∠ABC ＝36°，∠C ＝44°，则∠EAC 的度数为（ ）A. 18°B. 28°C. 36°D. 38°8.直线l 1：y ＝kx+b 与直线l 2：y ＝bx+k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）A. B. C. D. 9.关于x 的二次函数y ＝x 2+2kx+k ﹣1，下列说法正确的是（ ）A. 对任意实数k ，函数图象与x 轴都没有交点B. 对任意实数k ，函数图象没有唯一的定点C. 对任意实数k ，函数图象的顶点在抛物线y ＝﹣x 2﹣x ﹣1上运动D. 对任意实数k ，当x≥﹣k ﹣1时，函数y 的值都随x 的增大而增大10.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，∠ADC ＝3∠BAD ，BD ＝4，DC ＝3.则AB 的值为（ ）A. 5+3 √2B. 2+2 √15C. 7 √2D. √113二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分（共6题；共24分）11.分解因式：3x 2+6xy+3y 2＝________.12.一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为________.13.分式方程 2x−1=1x 的解是________.14.已知一个扇形的面积为12πcm 2 ， 圆心角的度数为108°，则它的弧长为________.15.已知关于x 的不等式组 {5x −a ≥3(x −1)2x −1≤7的所有整数解的和为7，则a 的取值范围是________. 16.一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为________. 三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（共7题；共66分）17.先化简再求值：（ a b −b a ）• aba+b ，其中a ＝1，b ＝2.18.光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项.根据收集到的数据，绘制成统计图（不完整）.根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有________人，男生最喜欢“乒乓球“项目的有________人.（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数.19.如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝3，求AE的长.420.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6 √2，AF＝4 √2，求AE的长.21.已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（2，6）在反比例函数y1＝k的图象上，且xsin∠BAC＝35（1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标；（3）有一直线y2＝kx+10与y1＝k交于M与N点，求出x为何值时，y2≥y1.x22.已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）.（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值.23.在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，点D在AC上.（1）如图1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求证：∠ECB＝∠A；（2）如图2，设BC与DE交于点F.当∠ABC＝∠DBE＝45°时，求证：CE∥AB；（3）在（2）的条件下，若tan∠DEC＝12时，求EFDF的值.答案解析部分一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.1.【答案】B【解析】【解答】解：|﹣2|=2，故选：B．【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．2.【答案】D【解析】【解答】解：A、m4与m3，无法合并，错误；B、（m4）3＝m12，错误；C、2m5÷m3＝2m2，错误；D、m （m﹣1）＝m2﹣m，正确.故答案为：D.【分析】A、m4与m3不是同类项，无法合并，据此判断即可；B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断即可；C、根据单项式除以单项式法则进行计算，然后判断即可；D、根据单项式乘以多项式法则进行计算，然后判断即可.3.【答案】B【解析】【解答】解：∵PA＝1，PB＝5，∴AB＝PB﹣PA＝4，∴OC＝OA＝OB＝2，∴PO＝1+2＝3，∵PC切⊙O于C，∴∠PCO＝90°，在Rt△PCO中，由勾股定理得：PC＝√PO2−OC2＝√32−22＝√5，故答案为：B.【分析】由AB＝PB﹣PA＝4，可得半径OC＝OA＝OB＝2，从而求出PO=3，由切线的性质可得∠PCO＝90°，利用勾股定理即可求出PC的长.4.【答案】A【解析】【解答】解：这15名同学每天使用零花钱的众数为3元，中位数为3元，故答案为：A.【分析】中位数：先把数据从小到大（或从大到小）进行排列，如果数据的个数是奇数，那么最中间的那个数据就是中位数，如果数据的个数是偶数，那么最中间的那两个数据的平均数就是中位数；众数：是一组数据中出现次数最多的数据；据此判断即可.5.【答案】D【解析】【解答】解：设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为：x−15 30+ 1525＝1.故答案为：D.【分析】设甲、乙一共用x天完成，根据甲干的工作量+乙干的工作量=总工作量1，列出方程即可.6.【答案】C【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，∴DEEF ＝ABBC，即DE4.8＝34，解得，DE＝3.6，故答案为：C.【分析】根据平行线分线段成比例定理可得DEEF ＝ABBC，据此求出DE即可.7.【答案】B【解析】【解答】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝12∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BFA＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF＝100°﹣72°＝28°，故答案为：B.【分析】根据三角形内角和可求出∠BAC＝100°，由角平分线的定义可得∠ABD＝12∠ABC＝18°，由AE⊥BD，可得∠BFA＝90°，根据直角三角形两锐角互余可得∠BAF＝90°﹣18°＝72°，由∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF即可求出结论.8.【答案】C【解析】【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A、由图可得，y1＝kx+b中，k＜0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＜0，b、k的取值矛盾，故本选项错误；B、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＞0，k＞0，b的取值相矛盾，故本选项错误；C、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＞0，k的取值相一致，故本选项正确；D、由图可得，y1＝kx+b中，k＞0，b＜0，y2＝bx+k中，b＜0，k＜0，k的取值相矛盾，故本选项错误；故答案为：C.【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐一分析即可.9.【答案】C【解析】【解答】解：A、△＝4k2﹣4（k﹣1）＝（2k﹣1）2+3＞0，抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、k（2x+1）＝y+1﹣x2，k为任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣x2＝0，所以抛物线经过定点（﹣12，﹣34），所以B选项错误；C、y＝（x+k）2﹣k2+k﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动，所以C选项正确；D、抛物线的对称轴为直线x＝﹣2k2＝﹣k，抛物线开口向上，则x＞﹣k时，函数y的值都随x的增大而增大，所以D选项错误.故答案为：C.【分析】A、计算出△的值，据此判断即可；B、由y＝x2+2kx+k﹣1，可得k（2x+1）＝y+1﹣x2，当2x+1＝0，可得y+1﹣x2＝0，据此解答即可；C、求出抛物线的顶点坐标为（﹣k，﹣k2+k﹣1），据此即可判断抛物线顶点的运动轨迹；D、先求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣k，由于抛物线开口向上，在对称轴的右侧，函数y的值都随x的增大而增大，据此判断即可.10.【答案】B【解析】【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA.设BE＝AB＝a.∵BE＝BA，∴∠E＝∠BAE，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝2∠E+∠BAD＝3∠BAD，∴∠BAD＝∠E，∵∠ADB＝∠EDA，∴△ADB∽△EDA，∴ADED =DBAD，∴AD2＝4（4+a）＝16+4a，∵AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2，∴16+4a﹣32＝a2﹣72，解得a＝2+2 √15或2﹣2 √15（舍弃）.∴AB＝2+2 √15，故答案为：B.【分析】如图，延长CB到E，使得BE＝BA.设BE＝AB＝a.根据两角分别相等可证△ADB∽△EDA，可得AD ED =DBAD，代入数据可得AD2＝4（4+a）＝16+4a，由AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2，可得方程16+4a﹣32＝a2﹣72，解出a值即可.二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分11.【答案】3（x+y）2【解析】【解答】解：3x2+6xy+3y2，＝3（x2+2xy+y2），＝3（x+y）2【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解即可.12.【答案】23【解析】【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中2个球颜色不同的有4种结果，∴2个球颜色不同的概率为46＝23，故答案为：23.【分析】利用树状图列举出共有6种等可能结果，其中2个球颜色不同的有4种结果，然后利用概率公式计算即可.13.【答案】x＝﹣1【解析】【解答】解：方程的两边同乘x（x﹣1），得2x＝x﹣1，解得x＝﹣1.检验：把x＝﹣1代入x（x﹣1）＝2≠0.∴原方程的解为：x＝﹣1.故答案为：x＝﹣1.【分析】利用去分母将分式方程转化为整式方程，解出整式方程的解，然后检验即可.14.【答案】6√105πcm【解析】【解答】解：设扇形的半径为Rcm，∵扇形的面积为12πcm2，圆心角的度数为108°，∴108π×R2360＝12π，解得：R＝2 √10，∴弧长为108π×2√10180＝6√105π（cm），故答案为：6√105πcm.【分析】设扇形的半径为Rcm ，利用扇形的面积公式求出半径r 值，然后利用弧长公式计算即得. 15.【答案】 7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1【解析】【解答】解： {5x −a ≥3(x −1)①2x −1≤7②， ∵解不等式①得：x >a−32 ， 解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为 a−32 ＜x≤4，∵关于x 的不等式组 {5x −a ≥3(x −1)2x −1≤7的所有整数解的和为7， ∴当 a−32>0 时，这两个整数解一定是3和4，∴ 2≤a−32<3 ， ∴7≤a ＜9，当 a−32<0 时，﹣3 ≤a−32<−2 ，∴﹣3≤a ＜﹣1，∴a 的取值范围是7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1.故答案为：7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1.【分析】先求出不等式组的解集为a−32 ＜x≤4，再根据整数解的和为7，分别求出当 a−32>0 时,当 a−32<0 时a 的范围即可.16.【答案】 103 或 6017 【解析】【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，∴BC ＝ √AB 2−AC 2 ＝12，根据题意，分两种情况：①如图，若∠DEB ＝90°，则∠AED ＝90°＝∠C ，CD ＝ED ，连接AD ，则Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AE ＝AC ＝5，BE ＝AB ﹣AE ＝13﹣5＝8，设CD ＝DE ＝x ，则BD ＝BC ﹣CD ＝12﹣x ，在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+82＝（12﹣x）2解得x＝103，∴CD＝103；②如图，若∠EDB＝90°，则∠CDE＝∠DEF＝∠C＝90°，CD＝DE，∴四边形CDEF是正方形，∴∠AFE＝∠EDB＝90°，∠AEF＝∠B，∴△AEF∽△EBD，∴AFED ＝EFBD，6017设CD＝x，则EF＝CF＝x，AF＝5﹣x，BD＝12﹣x，∴5−xx ＝x12−x，解得x＝6017.∴CD＝6017.综上所述，CD的长为103或6017.【分析】先利用勾股定理求出BC=12，分两种情况讨论：①如图，当∠DEB＝90°，②如图，当∠EDB＝90°，据此分别求出CD的长.三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】解：原式＝a2−b2ab • aba+b＝(a+b)(a−b)ab ·ab a+b＝a﹣b，当a＝1，b＝2时，原式＝1﹣2＝﹣1.【解析】【分析】先通分计算括号里，然后乘法，利用约分化为最简，最后将a、b的值代入计算即可.18.【答案】（1）10；20（2）解：由（1）知，女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，补全完整的条形统计图如右图所示；（3）解：450×28%+400× 950＝126+72198（人），答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生一共有198人.【解析】【解答】解：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣9﹣7＝10（人），男生最喜欢“乒乓球“项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）＝50×40%＝20（人），故答案为：10，20；【分析】（1）利用总数减去喜欢跳绳、乒乓球、羽毛球、其它人数即得最喜欢“踢毽子”项目的人数；利用总人数乘以男生最喜欢“乒乓球“项目的百分比即得男生最喜欢“乒乓球“项目的人数；（2）利用（1）中数据补图即可；（3）分别求出该校有男生，女生喜欢“羽毛球”项目的学生的人数，然后相加即可.19.【答案】（1）证明：连接OD，∵∠AED＝45°，∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠AED＝90°，∵CD∥AB，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，∵OD过O，∴直线CD与⊙O相切；（2）解：解：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵由圆周角定理得：∠B＝∠ADE，sin∠ADE＝34，∴sin∠ADE＝sinB，∵sinB＝AEAB，∵⊙O的半径为12，∴AE24＝34，解得：AE＝18.【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得∠AOD＝2∠AED＝90°，利用平行线的性质可得∠CDO＝∠AOD＝90°，即得OD⊥CD，利用切线的判定定理即证；（2）连接BE，根据圆周角定理可得∠AEB＝90°，∠B＝∠ADE，从而可得sin∠ADE＝，据此即可求出AE的长.20.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝8.∵△ADF∽△DEC，∴ADDE ＝AFDC，即6√2DE＝4√28，∴DE＝12.∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD.在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝6 √2，∴AE＝√DE2−AD2＝√122−(6√2)2＝6 √2.【解析】【分析】（1）根据两角分别相等的两个三角形相似，即证△ADF∽△DEC；（2）由，据此求出DE=12，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的长.21.【答案】（1）解：∵点C（2，6）在反比例函数y＝kx的图象上，∴6＝k2，解得k＝12，∵sin∠BAC＝35∴sin∠BAC＝6AC ＝35，∴AC＝10；∴k的值和边AC的长分别是：12，10；（2）解：①当点B在点A右边时，如图，作CD⊥x轴于D.∵△ABC是直角三角形，∴∠DAC＝∠DCB，又∵sin∠BAC＝35，∴tan∠DAC＝34，∴BDCD ＝34，又∵CD＝6，∴BD＝92，∴OB＝2+ 92＝132，∴B（132，0）；②当点B在点A左边时，如图，作CD ⊥x 轴于D.∵△ABC 是直角三角形，∴∠B+∠A ＝90°，∠B+∠BCD ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，又∵sin ∠BAC ＝ 35 ，∴tan ∠DAC ＝ 34 ，∴ BD CD ＝ 34 ，又∵CD ＝6，∴BD ＝ 92 ，BO ＝BD ﹣2＝ 52 ，∴B （﹣ 52 ，0）∴点B 的坐标是（﹣ 52 ，0），（ 132 ，0）（3）解：∵k ＝12，∴y 2＝12x+10与y 1＝ 12x ，解 {y =12x +10y =12x 得， {x =23y =18 ， {x =−32y =−8，∴M （ 23 ，18），N 点（﹣ 32 ，﹣8），∴﹣ 32 ＜x ＜0或x ＞ 23 时，y 2≥y 1.【解析】【分析】 （1k=12， 由 即可求出AC 的长；（2）分两种情况讨论：①当点B 在点A 右边时 ②当点B 在点A 左边时， 分别求出答案即可；（3）先联立一次函数与反比例函数解析式为方程组，解出方程组，即得﹣8）， 然后利用函数图象求出y 2≥y 1时x 的范围即可.22.【答案】 （1）解：把A （0，1）代入y 1＝2x+b 得b ＝1，把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+1）得，a＝1，∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1（2）解：作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下：由函数图象可知，y1＝2x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤3，∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤3；（3）解：∵u＝y1+y2＝2x+1+x2+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25，∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大；v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x2+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大，∴当﹣15≤x≤0.5时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∵若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，∴m的最小值为﹣1.5，n的最大值为0.5.【解析】【分析】（1）将A（0，1）分别代入两函数解析式中，求出a、b的值即可；（2）把x=1,分别代入y1＝2x+1与y2＝x2+x+1中，可得y1=y2=3，从而验证点B的坐标为（1,3）；根据直线与抛物线的交点坐标和抛物线的开口方向即可得出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）先求出u＝y1+y2＝（x+1.5）2﹣0.25，v＝y1﹣y2＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，然后根据它们的对称轴及增减性即可求出m的最小值和n的最大值.23.【答案】（1）证明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°.∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）.∴∠A＝∠ECB；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴ABBC =√2,DBBE=√2，∴ABBC =DBBE，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴DC=√2a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN＝√2DC＝2a，∵tan∠DEC＝DMME =12，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴CEDN =a2a=12，∵CE∥DN，∴△CEF∽△DNF，∴EFDF =CEDN=12.【解析】【分析】（1）先求出△ABC和△DBE都是等边三角形，从而可得∠ABD＝∠CBE，根据SAS 可证△ABD≌△CBE，利用全等三角形的对应角相等即得结论；（2）先求出△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等可证△ABD∽△CBE，利用相似三角形的对应角相等可得∠BAD＝∠BCE＝45°，从而可得∠ABC＝∠BCE，根据内错角相等，两直线平行即证；（3）过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，根据两边对应成比例且夹角相等可证△CEF∽△DNF，利用相似三角形对应边成比例即得结论.。