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第七章
机械能守恒定律10:07
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(2015· 西安八校高一联考)某人利用如图所 示的装置，用 100 N 的恒力 F 作用于不计质量的 细绳的一端，将物体从水平面上的 A 点移到 B 点 ．已知α1＝30°，α2＝37°，h＝1．5 m，不计 滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦．求绳的拉力对 物体所做的功．
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[ 解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1 、l2、…、 ln，拉力在每 小段上做的功为 W1、 W2、…、 Wn，因拉力 F 大小不变，方向 始终与物体所在位置的切线方向成 37° 角，所以： W1 ＝ Fl1 cos 37° ， W2 ＝ Fl2 cos 37° ，…， Wn＝ Flncos 37° ， 所以 WF＝ W1 ＋ W2＋…＋ Wn ＝ Fcos 37° ( l1＋ l2＋…＋ ln) π ＝ Fcos 37° ·R＝ 20π J＝ 62.8 J. 3 (2)重力 mg 做的功 WG＝－mgR(1－ cos 60° )＝－ 50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN ＝ 0.
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1．做功的两个必要因素 (1)作用在物体上的力． (2)物体在力方向上的位移． 2．功的表达式：W＝Flcos α，α为力F与位移l的 夹角． • (1)α<90°时，W>0. • (2)α>90°时，W<0. • (3)α＝90°时，W＝0.
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只能用于 F 与位移 l 成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t 成线性关系的情况．
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图象法求变力做功
• 变力做的功W可用F－l图线与l轴所围成的面积 表示．l轴上方的面积表示力对物体做正功的多 少，l轴下方的面积表示力对物体做负功的多少 ．
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法二：平均力法 拉力 F＝ ks′， 力与位移成正比， 力 F 为线性力， 则平均力为 F 0＋ ks 1 ＝ ＝ ks. 2 2 1 W＝ F s＝ ks2 . 2 1 2 [答案] ks 2
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微元法求变力做功
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• 如图所示，一质量为m＝2.0 kg的物体从半径为R ＝5.0 m的圆弧的A端，在拉力F作用下沿圆弧缓慢运 动到B端(圆弧AB在竖直平面内)．拉力F大小不变始 终为15 N，方向始终与物体所在位置的切线成37° 角．圆弧所对应的圆心角为60°, • BO边为竖直方向，g取10 m/s2.求这一过程中： • (1)拉力F做的功； • (2)重力mg做的功； • (3)圆弧面对物体的支持力FN做的功． 栏目
• [答案] (1)62.8 J (2)－50 J
(3)0
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转换法求变力做功
• 1．分段转换法：力在全程是变力，但在每一个 阶段是恒力，这样就可以先计算每个阶段的功 ，再利用求和的方法计算整个过程中变力做的 功． • 2．等效替换法：若某一变力的功和某一恒力的 功相等，则可以用求得的恒力的功来作为变力 的功．
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• 如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接 ，另一端与一个质量为m的木块连接，放在光滑的水平 面上，弹簧的劲度系数为k，处于自然状态．现用一 水平力F缓慢拉动木块,使木块向右移动s，求这一过 程中拉力对木块做的功．
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平均值法求变力做功
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出力 F1 ＋ F2 对位移的平均值 F ＝ ，再由 W＝ F lcos 2 α 计算功．
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用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进 木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进 d，如果铁锤 第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉 子进入木板的深度是( B A． ( 3－ 1)d B． ( 2－ 1) d 5－ 1 d C. 2 2 D. d 2 )
• [答案] 50 J • [ 易错提醒 ] F 做功的位移等于左边绳的变短的部分，而 不等于物体的位移． 10:07
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[ 解析 ] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力 成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比， 可将变力等效为恒力来处理． 根据题意可得 kd 第一次做功： W＝ F1 d＝ d. 2 d′ 第二次做功： W＝ F2 d′＝ kd＋ d′ . 2 联立解得 d′＝ ( 2－ 1) d. F1 ＋ F2 [ 归纳提升 ] 当力为变力，应用平均值法求功时， F ＝ 2
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[ 解析 ] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所 以不能直接根据 W＝ Flcos α 求绳的拉力对物体做的功． 由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力 F 做的功和绳对物 体的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力 F 所做的功求出绳 对物体的拉力所做的功．由于恒力 F 作用在绳的端点，故需先 求出绳的端点的位移 l，再求恒力 F 的功． 由几何关系知，绳的端点的位移为 h h 1 l＝ － ＝ h＝ 0.5 m sin 30° sin 37° 3 在物体从 A 移到 B 的过程中，恒力 F 做的功为 W＝ Fl＝ 100× 0.5 J＝ 50 J. 故绳的拉力对物体所做的功为 50 J.
• 当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或 反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这 样每一小段可以看成直线，先求力在每一小段 上的功，再求和即可．
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• 例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着圆 周的切线方向的一个力F的作用下绕圆周运动了一圈 ，又回到出发点．已知圆周的半径为R，求力F做的功 时，可把整个圆周分成很短的间隔Δs1、Δs2、Δs3…在 每一段上，可近似认为F和位移Δs在同一直线上并且 同向，故 • W＝F(Δs1＋Δs2＋Δs3＋…)＝2πRF. • 因此功等于力F与物体实际路径长度的乘积．即 • W＝Fs. • 对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与v反向，故 • W＝－Ff· s.
[解析 ] 缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力 等于弹力的大小 F＝ ks′，是变力． 法一：图象法 力 F 随位移 s′变化的关系如图所示，则力 F 所做的功在数值 上等于图线 OA 与所对应的横轴所包围的面积，即等于△ OAs 的面积．则：
1 1 W＝ s· ks＝ ks2 . 2 2