2019-2020学年高二年级上学期期末考试数学试卷一、填空题(每小题 3分,共36 分)1.关于,x y 的二元一次方程的增广矩阵为123015-⎛⎫⎪⎝⎭,则x y += 。
【答案】8-2.已知(5,1),(3,2)OA OB =-=,则AB 对应的坐标是 。
【答案】)(3,23.已知直线420ax y +-=与直线10x ay ++=重合,则a = 。
【答案】2-4.在正方体1111ABCD A B C D -中,E 是AB 中点,F 为BC 中点,则直线1A E 与1C F 的位置关系是 。
【答案】相交5.圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y +-=的距离等于 。
【答案】26.已知复数22iz i+=,则z 的虚部为 。
【答案】1- 7..经过动直线20kx y k -+=上的定点,方向向量为(1,1)的直线方程是 。
【答案】02=+-y x8.复数34i +平方根是 。
【答案】)(i +±29.过点(),0M 且和双曲线2222x y -=有相同的焦点的椭圆方程为 。
【答案】13622=+y x 10.已知双曲线22:1916x y C -=的左、右焦点分别为12,F F P ,为双曲线C 的右支上一点,且212PF F F =,则12PF F ∆的面积等于 。
【答案】4811.平面上一机器人在行进中始终保持与点(1,0)F 的距离和到直线1x =-的距离相等。
若机器人接触不到过点(1,0)P -且斜率为k 的直线,则k 的取值范围是 。
【答案】)()(+∞∞,11-,-【解析】由抛物线定义可知,机器人的轨迹方程为x y 42=,过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线方程为)1(+=x k y 代入x y 42=,可得0)42(2222=+-+k x k x k , 机器人接触不到过点)0,1(-P 且斜率为k 的直线,04)42422<--=∆∴k k (,1-<∴k 或1>k . 12.已知圆M :22(1)1x y +-=,圆N :22(1)1x y ++=.直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ,且1l 与圆M 相交于,A B 两点,2l 与圆N 相交于,C D 两点。
若点P 是椭圆22194x y +=上任意一点,则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为 。
【答案】8【解析】222()()()()1PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA PM ⋅=+⋅+=+⋅-=-=- 同理,PD PC ⋅=12-,P32=;PM 1422222-=-=-+=⋅+⋅∴82142=⎪⎭⎝-≥ 二、选择题(每小题3分,共12分)13.已知方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( )【A 】2>m 或1-<m【B 】2->m 【C 】21<<-m【D 】2>m 或12-<<-m 【答案】D14. 若点A 的坐标为()3,2,F 是抛物线22y x =的焦点,点M 在抛物线上移动时,使MF MA +取得最小值的M 的坐标为( )【A 】()00,【B 】⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 【C 】()2,1 【D 】()2,2 【答案】D15.将正方体表面正方形的对角线称为面对角线。
若,a b 是同一正方体中两条异面的面对角线,则,a b 所成的角的所有可以取得的值构成的集合是( )【A 】{,}32ππ【B 】{}2π【C 】{}3π【D 】2{,,}323πππ【答案】A16.下列关于复数z 的四个命题中,正确的个数是( ) (1)若|1||1|2z z -++=,则复数z 对应的动点的轨迹是椭圆; (2)若|2||2|2z z --+=,则复数z 对应的动点的轨迹是双曲线; (3)若|1||Re 1|z z -=+,则复数z 对应的动点的轨迹是抛物线; (4)若|2|3z -≤,则||z 的取值范围是[1,5]。
【A 】4 【B 】1 【C 】2 【D 】3 【答案】B【解析】(1)复数z 对应的动点是在点)(0,1和点)(0,1-之间的线段上运动;(2)复数z 对应的动点的轨迹是双曲线的一支;(3)正确;(4)z 的取值范围是[]5,0 三、解答题(共52分)17. (8分)设,m n R ∈,关于x 的方程20x mx n ++=的两个根分别是α和β, (1)当1i α=+时,求β与,m n 的值; (2)当2,4m n ==时,求||||αβ+的值。
【答案】(1)i -1=β;2-=m ;2=n (2)4【解析】(1)当1i α=+时,1i β=-,(11)2m m i αβ+=-⇒=-++-=-,(1)(1)2n i i αβ==+-=,(2)依题意,2240x x ++=,其416120∆=-=-<得,1αβ=-,所以||||4αβ+=。
或416120∆=-=-<,由4||||2αβαααβ==⇒==,所以||||4αβ+=。
18. (8分)过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B (其中点A 在第一象限),交其准线l 于点C ,同时点F 是AC 的中点。
(1)求直线AB 的倾斜角;(2)求线段AB 的长。
【答案】(1)3π (2)316【解析】(1)依题意:(1,0)F ,准线l :1x =-,设1122(,),(,)Axy B x y ,设0(1,)C y -,由已知可得1112x -+=,故13x =,代入24y x =,得10y =>,故AB AF k k ===,直线AB 的倾斜角为3π。
(2)由24y x =与1)y x =-联立可得,1(3,,(,3A B ,故16||3AB =。
或121016||||||(1)(1)233AB AF BF x x =+=+++=+=。
19. (10分)已知M 为圆O :221x y +=上的动点,过点M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为A 、B ,连接BA 延长至点P , 使得2AP BA = ,记点P 的轨迹为曲线C 。
(1)求曲线C 的方程;(2)直线1l :y kx m =+与圆O 相切,直线2l :y kx n =+与曲线C相切,求22m n的取值范围。
【答案】(1) 14922=+y x (2)⎥⎦⎤ ⎝⎛41,91 【解析】(1)设(,)P x y ,00(,)M x y ,则0(,0)A x ,0(0,)B y ,且22001x y +=,因为2A P B A =,即000(,)2(,)x x y x y -=-,∴0032x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,代入22001x y +=,得22194x y +=,故曲线C 的方程为22194x y +=。
(2)∵1l 与圆O 相切,∴圆心O 到1l的距离11d ==,得221m k =+,① 联立22194y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得222(49)189360k x knx n +++-=,由0∆=,得2294n k =+,②由①②得222221151949994m k n k k +==+⋅++,22119440944k k +≥⇒<≤+,故2211(,]94m n ∈。
20. (12分)已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>,若四点12(1,1),(0,1),P P3(1,),2P-4(1,2P 中恰有三点在椭圆C 上。
(1)指出四点1234,,,P P P P 中,可能不在椭圆C 上的点,并说明理由;同时求出椭圆C 的方程;(2)过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0) 。
设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠。
【答案】(1)1222=+y x (2)见解析 【解析】(1)根据椭圆图形的对称性可知,椭圆C 必过点34,P P 。
又1P与4P 点的横坐标均为1,且1P 与4P 不关于x 轴对称,故椭圆必不过1P 。
由此可知,椭圆C 必过234,,P P P 三点,将这三点的坐标代入椭圆C 的方程,得222111214b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以椭圆C 的方程为2212x y +=。
(2)分以下三种情况:(i )当l 与x 轴垂直时,,A B 两点关于x 轴对称,显然OM A OM B ∠=∠。
(ii )当l 与x 轴重合时,显然0OMA OMB ∠=∠=︒。
(iii )当l 与x 轴不垂直也不重合时,过(1,0)F ,设其方程为(1)y k x =-,且0k ≠,设1122(,),(,)A x y B x y ,联系22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩,整理得2222(12)4220k x k x k +-+-=, 故22121222422,1212k k x x x x k k -+==++,则12121212(1)(1)2222MA MB y y k x k x k k x x x x --+=+=+----121212[23()4](2)(2)k x x x x x x =-++--0=,结合图形可知,直线MA 与MB 的倾斜角互补,故OM A OM B ∠=∠。
综上所述,OM A OM B ∠=∠成立。
21.(14分)双曲线Γ:22221(0,0)x y a b a b-=>>(1)已知双曲线Γ的实轴长为4,渐近线方程为y =.求双曲线Γ的标准方程; (2)若双曲线Γ与直线10x y +-=交于P 、Q 两点,且0OP OQ ⋅= (O 为原点),求证:行列式22231132b a 的值为常数;(3)可以证明:函数1y x=的图像是由双曲线222x y -=的图像逆时针旋转45︒得到的。
用类似的方法可以得出:函数23y x x =+的图像也是双曲线。
按教材对双曲线的性质的研究,请列出双曲线2y x x=+的性质(不必证明)。
【答案】(1)112222=-y x (2)(3)见解析 【解析】(1)依题意,242a a =⇒=,又双曲线的渐近线方程为y =,所以bb a==,双曲线的标准方程是221412x y -=。
(2)由222211x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩,得2222222()2()0b a x a x a a b -+-+=,显然220b a -≠, 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则2222121222222,a a a b x x x x b a b a -++==---因为121212121212(1)(1)2()10OP OQ x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++=,所以2222222222210a a b a a b a b +-+=--,即22222a b b a =-,所以22231132ba =22112a b -=为常数。