复变函数积分中柯西定理的推广
姓名：刘亚宁
学号： 20161102541
专业：物理学
班级： 16级物理学
院系：物理与电子信息学院
内容摘要
数学物理方法作为物理学专业普通物理与理论物理的纽带，其重要性不言而喻。

复变函数理论的相关知识是基础并且重要的。

其中，对于复变函数的积分，有一个重要的定理——单、复通区域的柯西定理，包括单、复通区域柯西定理的使用条件和最后结论。

并且，柯西定理还可以进行推广，将使用条件进一步简化，减少局限性，使得柯西定理的应用更加广泛。

本篇将阐述柯西定理的推广过程及结论。

关键词：连续解析柯西定理积分路径
复变函数积分中柯西定理的推广
单、复通区域的柯西定理的证明过程，在众多教材中已经给出。

而对于柯西定理的推广，只给出了相关结论。

现结合现有知识以及相关文献，以单通区域为例，对柯西定理的推广进行证明。

1.相关知识
（1）单通区域柯西定理：
如果函数f (z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有
⎰
f(z)dz=0
l
（2）单通区域柯西定理的推广：
如果函数f (z)在单连通区域B上解析，在闭单连通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有
⎰
f(z)dz=0
l
2.具体证明
首先，我们可以将柯西定理的推广整理成以下形式:
假如D是一个可求长度的曲线C的内部区域，函数f(z)是D内的解析函数，并且f(z)在闭区域B上连续，则
⎰
f(z)dz=0
C
假定c是一个无论怎样小的正数。

按照假设的条件，f(z)在D上一致连续。

因此存在这样一个数δ（0<δ<1）使得对于区域D上满足条件|z1-z2| < 2δ的任意两点z1与z2，不等式|f (z1)-f(z2)|<c都成立。

即
|z1-z2|< 2δ⇒|f (z1)-f(z2)|<c①
如图，可求长度的曲线C在复平面内，其内部区域为D。

选取常数α与相应的常数β，使得在每一条直线x=α+mδ与y=β+mδ(m=0,±1,±2,……)上都有曲线的有限多个点。

图1
直线x=α+mδ与y=β+mδ把C的内部区域D分成有限多个区域，每一个这种区域都以一条可求长度的曲线为边界。

我们用C1，
C2，…，C n表示这些曲线。

很明显：
⎰C
f (z)dz=∑
⎰
=n
n C n
1
f (z)dz ， ②
其中所有积分方向一致，为逆时针方向。

假定在曲线C 1，C 2，…，C n 中，前面的q 条而且只有这q 条包含C 上的点。

于是其余的都是正方形边界，完全在C 的内部，而且对于他们来说，根据柯西定理其回路积分的和为0.
于是②式变为： ⎰C
f (z)dz=∑
⎰
=q
n C n
1
f (z)dz ③
用l 和l n 分别表示曲线C 和C n 的长度，如图2可知，对于任意一个含有C 的点的正方形格子来说，l n 减去其包括的C 的部分长度l´所得的长度，一定小于正方形格子的周长。

所以，∑=q
n 1l n -l 并不大于那些边上含有C 的点的正方形格子的边界长度之和。

而这种
正方形格子的个数不超过4（
δ
l
+1），所以：
∑=q
n
1
l n -l ≤16δ(
δl +1) ,即∑
=q
n 1
l n ≤l+16l+16δ<17l+16，因为δ<1
图2： l n -l ´<4δ
现在回到等式③，我们来估计积分⎰
C n
f (z)dz：
⎰C n f(z)dz=
⎰
C n
[ f(z)-f(z
) ]dz ,
这里z0是在C n上选定的一个固定点。

因为曲线C n的直径|z-z0|不大于δ2<2δ，所以根据公式①，当z在C n上时，我们有：
| f (z)-f(z
)| < c
换句话说，
|⎰
C n
f(z)dz|≤
⎰
C n
| [f (z)-f(z
) ] ||dz| < c l n
因此，从等式③我们得到：
|⎰
C
f(z)dz|≤∑
=
q
n1
|
⎰
C n
f(z)dz|< c∑
=
q
n1
l n< c(17l+16)
因为c是可以随意小的正数而17l+16是完全确定的常数，所以上式的右端也是可以随意小的正数。

但上式左端却是一个确定的非负的常数。

因而这个数只能是零，也就是说
|⎰
C
f(z)dz|=0 即
⎰
C
f(z)dz=0 证明完毕
3.讨论
柯西定理的证明过程较为复杂，其中细节较难把握，但运用了数形结合的方法，证明过程更直观。

由此我们可以将柯西定理的条件（在边界和内部都需要解析），减少为需要内部解析，边界只需要连续即可。

参考文献
[1]梁昆淼，数学物理方法，第4版，北京：高等教育出版社，2010.
[2]H.H.普里瓦洛夫，复变函数引论，北京：人民教育出版社，1956.。