显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
f (z) z z0
dz
2if
(z0
定理 若 f (z) 在单连通区域 D内解析
则函数F(z)
z
f ( )d
z0
(z0 固定) 在 D内解析, 并且
F(z) f (z)
原函数 : 设 f (z) 在单连通区域 D内连续, 若存在 D内解析
函数 F(z), 使 F(z) f (z), 则称 F(z) 是 f (z)的一个 原函数。
处处解析。
C
C1
C2
以 z 0, z 1 为圆心作两个互不相交的圆周:
C1 : | z | r1 C2 : | z 1 | r2
由复合闭路定理, 得到 :
1
1
1
dz
dz
dz
C z2 z
C1 z2 z
C2 z2 z
由于 1 1 1 1
z2 z (z 1)z z 1 z
C
0
00
i(cos i i sini) ie1
§3.3 复合闭路定理
复合闭路定理 :多连通域 D由简单闭曲线 C 的内部以及 C1, C2 ,..., Cn 的外部围成，C1, C2 ,..., Cn 全包含在 C 的内部， 并且它们互不包含互不相交.f (z) 在D 内解析，在其边界 连续，则
与路线 C 无关，仅由路线 C 的起点及终点来确定。 说明: (1)曲线 C D;
(2) 若 C D, f (z) 在 D 及 C 解析, 则 C f (z)dz 0
(3) 若 C D, f (z) 在 D内解析, 在 C上 连续, 则
C f (z)dz 0
注意 : 应用柯西定理时, 一定要注意定理的条件: f (z) 解析, D 单连通
3
例 计算积分 C z sin zdz, 其中 C 是由原点
沿 | z i | 1 右半圆周到点 i 的曲线。 22
解 :由于 z sinz 在复平面内处处解析, 因而积分与 路径无关。于是用分部积分法, 可得
z sin zdz
i z sin zdz z cos z i
i
cos zdz
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
(1)
I
C
1 z
1 2
z
1
i
1 2
解 : (1)由于 f (z) 在 | z | 1 所包围的区域解析,
所以积分为0。 ( f (z)
1
)
(z 2)( z 3)
(2) 由于 f (z) 在 | z | 1 所包围的区域解析,
所以积分为0。
二. 变上限积分与原函数
z
F(z) f ( )d z0
称为变上限积分。
(z0, z D, z0 固定)
Cr
(z
z0 )n1
dz
0,
n0
由复合闭路定理, 得
1
1
2i C (z z0 ) n1
1
1
dz 2i Cr (z z0 ) n1
dz
1, 0,
n0 n0
例
计算
C
1 z2
z
dz,
C
为包含圆盘|
z
|
1
在其内部
的任何正向简单闭曲线。
解 : f (z) 1 在复平面内除 z 0、z 1 两个奇点外 z2 z
C1
于是, 得到
C C2
C
1 z2
z
dz
C1
z
1
dz 1
C1
1 z
dz
C 2
z
1
dz 1
C 2
1 z
dz
0 2i 2i 0 0
§3.4 柯西积分公式
一、 柯西积分公式
定理 若 f (z) 在区域 D 内处处解析, 在 C D 连续,
C 为正向简单闭曲线, 对z0 D, 则有
1 f (z)
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz1Βιβλιοθήκη 2Cz1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
)
(3) 积分曲线 C 可以是解析区域 D内部的包含 z0
的任意正向简单闭曲线
特别地, 若定理中区域D 为圆周C : z z0 rei
围成, 则 1
f (z0 ) 2i
f (z)
1
dz
C z z0
f (z)dz f (z)dz f (z)dz f (z)dz
C
C1
C2
Cn
C2
C1
C
例 设 C 是复平面包含 z0 的任一简单闭曲线, 证明
1
2i
C
(z
1 z0
)n1
dz
1, 0,
n0 n0
证 : 在 C 内部作一个以 z0 为圆心, r 为半径的正向圆周Cr
由于
1
2i, n 0