柯西积分公式的应用
姓名：武小娜 班级：2014级数学教育 学号：201430626
摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用.
关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式.
1 前言
的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去．
2 预备知识
2.1 柯西积分定理
设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=⎰c
dz z f ． 2.2 推广的柯西积分定理
设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则
0)(=⎰c
dz z f ． 2.3 复周线柯西积分定理
设D 是有复周线---++++=n C C C Λ210C C 所围成的有界1+n 连通区域，函数
)z (f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则0)(=⎰c
dz z f ． 2.4 柯西积分公式
3.2 高阶导数公式
设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，并且有
这是一个用解析函数)(z f 的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式． 现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一
种简单的证明．
引理 设Γ是一条可求长的曲线，)(z f 是Γ上的连续函数，对于每个自然数m 及复平面C 上的每个点Γ∉z ，定义函数
那么每个)(z F m 在区域Γ-=C D 上解析，且
证明：首先证明)(z F m 是区域G 上的连续函数，即要证明，对于G 内的任意点a ，不论0>ε多么小，总存在0>δ，只要δ<-a z （z 在G 内的点），就有
2
,2r r z r
r a >≥->≥-ζζ．于是有（2）得 l r
Mm a z a F z F m m m 1)2()()(+-<-， 其中l 为曲线Γ的长．
令 l
Mm r a z l r Mm a z m m m 1112)2(+++<-⇒<-εε．
取 )2
1,2min(11l Mm r m m ++=εδ． 那么，当δ<-a z ，就有ε<-)()(a F z F m m ．
其次证明)(z F m 在区域G 上解析，且满足)()(1z mF z F m m +='，在G 内任取一
点a ，设a z G z ≠∈,，由（1）得 ---++-=-ζζζζd a z f d a z f a F z F m
m m m ))(())(()()(1Λ，
设函数)(z f 在区域D 内解析，a 为D 内一点，以a 为心作圆周R a r =-ζ:，只要r 及其内部K 均含于D ，则有
Λ,2,1,)(max )(,)(!)()(==≤=-n z f R M R
R M n a f R a z n n ． 证：由上面的推导可由柯西积分公式得到高阶导数公式，下面再有高阶导数公式证明柯西不等式．应用上面得到的定理，则有
注：柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式，说明解析函数在解析点
a 的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关．
3.4 刘维尔定理
有界整函数)(z f 必为常数
证：设)(z f 的上界为M ，则在柯西不等式中，对无论什么样的R ，均有M R M ≤)(．于是命1=n 时有 R
M a f ≤')(，
极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果．下面结合Holder 条件和奇异积分相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式．
定义1 设C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，在C 上0z 的两边各取一点21,z z ，若
存在，则称此极限值是f 沿C 的奇异积分，记为
定义2 设C 是复平面内的简单逐段光滑曲线，C z ∈0，函数)(z f 在}{0z C -上连续，在0z 附近无界，以0z 为心、充分小的正数ε为半径做圆周，使它与C 的交点恰为21,z z ，若极限dz z z z f i z z c ⎰-→-21,0
0)(21lim
πε存在，则称此极限值是f 沿C 的柯西主值积分，记为
定理1 设C 施光滑曲线，取正向，若f 满足Holder 条件，即
定理2 若C 是简单逐段光滑曲线，
D 是以C 为边界的有界单连通区域，)(z f 在D 内解析，在}{0z D -上连续)(0C z ∈，在0z 的邻域有
K z D z a z z K z f a },{,10,)(00-∈<≤-≤
为常数
则
0)(=⎰dz z f c ．
证：以0z 为心，充分小的0>ε为半径作圆，在C 上取下一小段弧εC ，在D 内得到圆弧εL ，取正向，有柯西积分定理
设εL 的参数方程为,,210θθθεθ<≤=-i e z z
)0(,0)()(121021
→→-==-≤-⎰⎰⎰εθθθθεεεεθθa L a a L K d K dz z z K dz z f ． 故
上5.3 柯西积分公式的方法与技巧
柯西积分公式是复积分基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．解析函数的高阶导数给我们一个利用导数来求积分的公式，是求沿闭曲线的积分更加简洁．而尤其重要的是，高阶导数公式告诉我们：只要函数)(z f 在D 内处处可导（解析），则它的各阶导数在区域D 内存在．
到此为止，我们已经掌握了关于复积分计算的基本定理和公式．因此，计算
复积分不再是应用某一定理或某一公式，而往往是同时应用几个定理或几个公式，这就要求我们加强对综合问题的分析、研究和求解能力的培养．
当被积函数为有理函数或被积函数可化为分母为多项式的函数式，如果在封闭曲线C 内含有分母的一个零点而分子在C 内处处解析（即对⎰c dz z g )(，0)()(z z z f z g -=或10)
()(+-n z z z f ，0z 在C 内，而)(z f 在C 内处处解析），则可直接应用柯西积分公式或高阶导数公式来计算积分．而在有理函数情形，若C 内含有分母
4-（2）因为 ⎰⎰⎰===-++=-++444343
4(
z z z z z dz z z 又有柯西积分公式有 i i z dz z z ππ2|123
34=⨯=-==⎰ 由定理3有 i z f i z dz z z ππ=⨯=+-==⎰4040|2
)(24 所以 i i i dz z z z πππ323141(4=+=-++⎰= 例3 计算积分⎰+∞
sin dx x x
分析：此题如果用广义积分来求解，计算繁冗，有一定难度，但通过变形，转化为复数，利用定理3求解就简单多了． 解：dx ix x i x dx x x dx x x dx x x R R R
R
R R ⎰⎰⎰⎰+-+-+∞→+∞→+∞∞-+∞+===sin cos lim 21sin lim 21sin 21sin 0 （其中经过定积分的计算可以得到积分⎰+-=R R
dx x x 0cos ） 设iz e z f =)(，)(z f 满足Holder 条件，且
z f )(的奇点0=z 在积分路径上，[6] 邱双月.复积分的计算[J].邯郸学院学报.2009,19 (3):57-60
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