2i (e z )(n1)
(n 1)!
z0
2i . (n 1)!
25
例
求积分

C
(
z

1 2)2
z
3
dz.
其中C : (1) z 3 2; (2) z 1 3.
解
函数
(z

1 2)2
z3
有两个奇点z

2
和
z

0,
(1) z 3 2,
仅包含奇点
z

2,
取

z0

z

z

z0

z

d 2
,
1 2, z z0 z d
I

z
ML d 3
,
C
z0 d
D
19
I

z
ML d 3
,
这里 L 为C 的长度.
如果 z 0, 那末 I 0,
f
(
z0
)

lim
z0
f (z0 z) z
f (z0 ) 1 2i
f (z) z z0
dz,
f
( z0

z)

1 2i
C
z

f (z) z0 z
dz,
f (z0 z) f (z0 ) z
1 f (z)
f (z)
2zi C z z0 z dz C z z0 dz,
17
1
f (z)
dz
在z0不 解 析.
C
f (z) z z0
一般
dz 0
2
由 复 合 闭 路 定 理 得, 任 意 包 含z0在 内 部 的 曲 线C1 C的 内 部
f (z)
f (z)
dz
dz
C z z0
C1 z z0
C
D
z0 C1
3
特别取 C1 {z z z0 ( 0可充分小)}
f (z0 )dz f (z) f (z0 )dz
K z z0
K
z z0
2if (z0 )
K
f (z) f (z0 )dz z z0
C
z0 R
K
D
6
f (z) f (z0 )dz f (z) f (z0 ) ds
K
z z0
π
π
2i π ecos cos(sin )d π ecos sin(sin )d
0
π
因为 ez dz 2π i,
z 1 z
ez
dz 2i
π ecos cos(sin )d
π ecos sin(sin )d
z 1 z
0
π
比较两式得 π ecos cos(sin )d π . 0
根据复合闭路定理和高阶导数公式,
C
(
z

1 2)2
z
3
dz

C1
(
z

1 2)2
z
3
dz

C2
(
z

1 2)2
z
3
dz
27
1
1

(
z
2)2 z3
dz

(
z
z3 2)2
dz
C1
C2


2i 2!
(z
1 2)2


2i 1!

1 z3

z0
(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的
值表示.
(这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积
分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分
表达式.
(这是研究解析函数的有力工具)
(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上
的平均值. 如果 C 是圆周z z0 R ei ,
f (z)的连续性,在C上的函数值f (z)
当 0时, f (z) f (z0 )
∴猜想积分
C D
f (z)
f (z) 0
z0
dz
dz
C z z0
C1 z z0
C1

f (z0 )
C1
1 z z0
dz 2if (z0 )
这个猜想是对的, 这就是下面的定理.
第五节 柯西积分公式
一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考
一、问题的提出
如果我们测得地球表面各点的温度，能否测得地 心的温度？如何测？
分析
设D 单 连 通, f (z)在D内 解 析,
z0 B, C是D内 围 绕z0的 一 条 闭 曲 线,则
f (z)
z z0
13
第六节 高阶导数
主要定理 典型例题
形式上，
对 积 分 公 式f
(z0 )

1
2i
f (z) C z z0 dz(z0 D)
两
边
在
积
分
号下 1
对z0求f
导得 (z)
f '(z0 ) 2i C (z z0 )2 dz
2! f (z)
f "(z0 ) 2i C (z z0 )3 dz
f
(n)(z0 )

n!
2i
f (z)
C
(z
n1
z0 )
dz
(n 1,2, )
以下将对这些公式的正确性加以证明。
15
主要定理
定理
解析函数 f (z)的导数仍为解析函数, 它的 n 阶
导数为:
f
(n)(z0 )

n! 2π i
C
(z
f
(z) z0 )n1
dz
(n 1,2, )
z1
9
例
计算积分
z
i

1
z(
z
1 2
1)
dz
.
2
1
f (z)
解
z(
z
1 2
1)

1 z(z i)(z i)

z(z i) zi
z0 i,
因为 f (z) 在 z i 1内解析, 由柯西积分公式
2 1
z
i

1
z(
z
1 2
1)
dz

z(z i) dz zi 1 z i
f (n)(0) (n 1)!1 1 n e(n 1)! (n 1,2, ) n
证
因为
f (n)(0)
n! 2i
z r
f z
(z)
n1
dz
0 r 1,
z0 0 在 z 1内, n 1,
ez cos z
z 1 z2 dz

2i (ez cos z)
1!
z0
2i[ez cos z ez sin z] 2i. z0
23
例
求积分
z
1
ez zn
dz
.
(n 为整数)
解
(1) n 0,
ez zn
2i 1 z(z i) zi
2
2

2i

1 2i 2
i.
10
例 设 C 表示正向圆周x2 y2 3,
f
( z)

C
3
2 7 z
1d ,
求
f (1 i).
解 根据柯西积分公式知, 当 z 在 C 内时,
f (z) 2πi (3 2 7 1) 2i(3z2 7z 1), z
f
( z0
)

1 2π
2π 0
f (z0

R ei )d .
8
三、典型例题
例
计算积分
ez dz.
z 2 z 1
解 因为 f (z) ez 在复平面内解析,
z 1 位于 z 2内,
由柯西积分公式
ez dz 2i ez 2ei.
z 2 z 1
f
(n)(z0 )

n! 2i
f (z) C (z z0 )n1 dz.
[证毕]
高阶导数公式的作用:
不在于通过积分来求导, 而在于通过求导
来求积分.
21
例
求积分
(1)
z
2
(
z z
3 1 1)4
dz;
(2)
z
1
e

z
cos z2
z
dz.
解 (1)函数 z3 1 在复平面内解析,
在
z

1 上解析,
由柯西－古萨基本定理得
z
1
ez zn
dz

0;
(2) n 1, 由柯西积分公式得
z
1
ez zn
dz

2i (ez ) z0
2i;
24
(3) n 1,
根据公式
f
(n)(z0 )

n! 2i
C
(zf (z) Nhomakorabea0 )n1
dz
ez