dQi d i
(t) (t)
二、弯剪模型
• 高宽比大于4的结构、强柱弱梁
型结构和高耸结构等，在结构 振动时，弯曲效应不容忽视。 应采用同时考虑弯曲变形和剪 切变形的弯剪模型。
二、弯剪模型 （续）
• 层间单元刚 Q度iA矩阵服K从4i 下述 K一4般i 关 K系3i： K3i ui
结构弹塑性动力分析的基本过程与之相类似：
[M ]{U} [C]{U} {F} [M ]{Ug }
唯 一 的 变 化 在 于 恢 复 力 向 量 {F} 代 替 了 弹 性 力 向 量 [K]{U}，这种形式上的替代使我们可以方便地考虑 结构的非线性增量方程 。
一、动力方程
对单自由度体系，结构在时刻 tj+1 的 反 应 可 以 用 tj 的 反 应 迭 加 一个线形增量:
(经过B、H、
I点) Y
N
fi fi1 0
i j
按最 大点 指向 修正 刚度
在JF线上:小 于最大变形F 点;
在NO线上: 小于最大变 形K点;
按骨架曲 线修正刚 度，并改 变状态变 量
在FK线上: 来回振动。
在EQ线上: 来回振动。
在QF线上: 来回振动。
j F y i k j
力对“强柱弱梁”型框架整体反应的 影响较小
一是由于水平地震作用产生的倾覆弯矩在柱中引起的轴力变化;
二是由于竖向地震分量引起的轴力变化
第二种情况产生的变轴力对框架 结构以及变轴力对剪力墙结构的 影响还有待作进一步的研究
数值分析中几个关键问题
梁柱节点区域性能对框架结构地震反应的影响
处理方法之一：在恢复力模型中考虑节点区域钢筋滑移的影响 （武田的模型）
J Q
二二、、刚刚度度修修正技正术技（术续（）续）
（1）根据变形速度的符号判定变形方向，然后判 明本步变形绝对值是否超过同方向历史最大变形 绝对值。
• 当超过时，则加载点必在骨架曲线上，此时，可将本
步累积变形值与骨架曲线界点变形值相比较。
• 超过界点值时改变状态标识变量并修正刚度； • 不超过界点值时，不修正刚度。
第六章 弹塑性结构地震反应分析
第一节 弹塑性动力分析概述 第二节 串联多自由度体系分析 第三节 平面框架模型 第四节 多维地震波作用下的平－扭耦联系统
第一节 弹塑性动力分析概述
➢结构弹塑性地震反应问题是地震工程学研究的热点
之一。
➢一般结构物都在强震中会进入弹塑性变形阶段。 ➢结构的弹塑性反应与线性反应的表现有很大不同：
K Ki
i


yi y i 1

Ki

12 EJ h3 (1 2 )
6EJ
GAh2
，
µ 为剪应力不均匀系数；h为层高；A，J分别为截面
积和惯性矩。
• 根据Q－KΔ恢i 复Q力ii 关系进行动力分析时，弹性层间刚度
为：
• 在弹塑性阶段，则有：
K
i
(t)

在非线性大变形阶段， 结构变形可能进入恢复力 下降段，即出现负刚度。 在负刚度条件下各数值积 分方法与正刚度条件有所 不同。
二、刚度修正技术
结构线性地震反应分析与非线性地震反应分析的主要差别 在于刚度矩阵是否变化。对于弹塑性结构，在每一步增量 反应计算之先，要先行修正刚度矩阵中各元素的量值，此 即刚度修正技术。
双向弯曲时----双线型屈服面模型
Mx
My
Myx
kyx
kex
x
O
O
屈服面的移动 Mx
恢复力模型
2. 建立在截面层次上的恢复力模型
双向弯曲时----三线型屈服面模型
My
Mx
Myy
Mcx {M0cx, M0cy}
Myx
kyx
Mcx
kcx
kex
x {M0yx, M0yy}
Mcy Mx
Myx
O
My {M}
M p(EIe)
(EIe)
O
y
B Mf
m1()
C

u
f
m1 ( ) M y ( y ) p(EI )e [( f y ) p(EI )e M y M f ]Sd
恢复力模型
3. 建立在构件层次上的恢复力模型
如钢筋混凝土矮墙
带定向滑轮的千斤
顶
N
如果忽略结构的强度退化，结构中的损伤可以看成是结构刚度的降低。 用频率的变化定义结构的损伤。将结构等效成单自由度体系，则有
结构的等 效刚度
1
f 01 2
K0 m
结构损伤后
1
f i1 2
Ki m
结构的等 效质量
数值分析中几个关键问题
具有初始损伤钢筋混凝土结构的地震反应
i
Ki
K0

f
对多自f由j1度体f系j ，k则jU有j
{F}j1 {F}j [K ]{U}j
进而得出结构非线性增量方程:
[M ]{U}j [C]{U}j [K ]{U}j [M ]{Ug}j
一、动力方程
用动力分析的逐步积分 法，可以方便地实现结构 弹塑性动力分析计算。
ks

Pm dm d0
d m k dy
P
(dc, Pc)
d0
ks
(dy, Py)
(dm, Pm) d
数值分析中几个关键问题
梁柱节点区域性能对框架结构地震反应的影响
处理方法之二：在杆端引入滑移转动角（杜宏彪、沈聚敏的模型）
M 弹性区
滑移转动角
非弹性区
数值分析中几个关键问题
具有初始损伤钢筋混凝土结构的地震反应
➢结构的基本动力特性变化 ➢整体结构的动力反应特征不同
➢引用弹塑性分析的概念和具体做法，有利于研究结
构地震反应的本质特征，有助于揭示设计结构的最 不利薄弱环节。
第一节 弹塑性动力分析概述
一、动力方程 二、刚度修正技术 三、一般分析过程
一、动力方程
结构在多维地震波作用下的一般动力方程为：
[M ]{U} [C]{U} [K]{U} [M ]{Ug }
第二节 串联多自由度体系分析
当不考虑结构扭转振动和土－结相互作用时，一般多 层结构或高耸结构可以抽象为一个底部嵌固的串联多自 由度体系。
一、剪切模型 二、弯剪模型
以下介绍具体的计算模型 一、层模型 二、平面杆件模型 三、半钢架模型 四、平扭藕联模型
一、剪切模型
• 当结构的变形主要表现为集中质量层之间的错动，且这种错
二二、、弯弯剪剪模模型型 （续）
弯剪模型区别于剪切模型的根本点在于前者需考虑楼层处的弯曲 转角。引用静态凝聚原理，则不增加动力方程的自由度数。将总 刚度矩阵中与转角有关的刚度系数并入仅与水平位移有关的刚度 系数项。 自由振动的动平衡方程可以表示为：
*众多研究表明, P-Δ效应对结构弹性地震反应的影响不大, 当结构 进入弹塑性阶段后随着结构变形程度的增大P-Δ效应的影响越来 越明显, 但是不同结构受P-Δ效应的影响程度各不相同
数值分析中几个关键问题
变轴力对结构地震反应的影响
框架柱中的轴力变化有两种情况:
对第一种情况的理论分析和试验研究 表明: 变轴力对单根杆件单元的反应有 明显的影响, 并会在结构中产生刚度和 强度偏心进而引起扭转反应, 但是变轴
数值分析中几个关键问题
恢复力模型中转折点的处理
恢复力模型中转折点处理的关键在于 要找到Δt时间内转折点出现的时刻。 通常寻找转折点的方法有优选法、二 分法、插值法、台劳展开法等
M My
Mc O
c y
m
数值分析中几个关键问题
P－Δ效应的影响
*结构由于重力作用和水平位移影响会产生附加反应, 这种现象称为 P-Δ效应。
• 而当不超过历史最大变形绝对值时，应进一步判明相
邻时刻内力是否反号，反号时，则修正刚度，否则不 修正刚度；
（2）当相邻时刻变形速度值发生变化时，变形反 向，此时，取卸载段退化刚度为本步刚度值。
二二、、刚刚度修度正修技正术技（术续（）续）
N （反向）
xi xi1 0
Y（同向）
i B
按卸 载刚 度修 正刚 度
N （负向）
xi 0
Y（正向）
N（小于最大变形）
i B
Y（超过最大变形）
(经过N、
J点) Y
N
fi fi1 0
i B
(经过E、Q、
F、K点) Y
N
i j
N（小于最大变形）
i A
Y（同向）
(经过P、
i A
G、L点)
Y
N
三、一般分析过程
• 弹塑性结构反应分析的思路分为三个基本组成部分：
数值积分 反应值迭加 刚度修正
• 一般的分析流程见图6.5。
三、一般分析过程
数值分析中几个关键问题
时间步长的取值
M x Cx Kx M Ixg
Newmark曾经建议时间步长Δt取为结构最短周期的 1/10～1/6
P
P k0
cr -
k0=k0 (/cr)-k
千斤顶加水平荷 载
试验墙 体
台座 h
荷载分配 梁
位移 计 H
基础梁
二、刚度修正技术（续）
以常见的三线型刚度退化 型模型介绍刚度修正技术。 骨架曲线包括了开裂点、 屈服点、极限荷载点等界 点。滞回曲线由最大变形 点指向和刚度退化规则加 以规定。在动力计算开始 前要存贮骨架曲线界点值， 在计算中要存贮反向曾经 经历过的变形最大值和损 伤状态值。
动可视为层间剪切角变位的结果时，则可将结构简化为剪切 模型。