2n nπ 2 1 2 a x)dx A 1 A sin xdx A (1 cos 2 a 2 a 0 0
2 2
a
a
因此
波函 ( x) 2 sin nπ x 概率密 n a a 数为 度为 可见：粒子在势阱中出现 的概率因地而异，在阱壁 处的概率为零；概率密度 分布还随量子数改变。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 V ( x) 0 (0 x a) 在一维势阱中运动，势函数为 ( x 0或x a) 由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维 无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。
[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。 ∞ 由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外， 所以定态波函数ψ(x) = 0 (x > a，x < 0)。 粒子在阱内定戊波函 数的薛定谔方程为
h 2 d 2 E 0 (0 ≤ x ≤ a) 2 2m dx
2
∞
x 方程可 d k 2 0 O a 设 k 2mE / h 简化为 dx 2 其通解为ψ(x) = Asinkx + Bcoskx， 波函数为ψ(x) = Asinkx。 由于波函数是连续的，在x = 0处有ψ(0) = 0，所以B = 0。
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
如图所示，有一质量为m的粒子 V ( x) 0 (0 x a) 在一维势阱中运动，势函数为 ( x 0或x a) 由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维 无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x) = Asinkx ∞ ∞ 在x = a处也有ψ(a) = 0，所以Asinka = 0， 由于A不恒为零，所以ka = nπ。 k只能取不连续的值，用kn表示，则 kn = nπ/a (n = 1，2，3，…) n称为量子数。 可 E kn h π h n 2 (n = 1，2，3，…) O n 2m 2ma 2 得 要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值， 或者说能量是量子化的，En称为能量的本征值。 2 2 2 h h n = 1状态称为基态，也就是粒子E 1 2 2ma 8ma 2 能量最低的状态，最低能量为
2 2 2 2
a 其他态称 为激发态， E2称为第 一激发态。
x
{范例14.6} 一维无限深势阱中的粒子的波函数
2 2 kn h π 2h 2 2 n (n = 1，2，3，…) ψ(x) = Asinkx， En 2 2m 2ma
nπ 能量En对应 ( x) A sin k x A sin x (0 ≤ x ≤ a) n n 的波函数为 a 可得 根据归一化条件
粒子的波函数的模方就是概 率密度，其高度表示能级。 在两壁处，概率密度恒为零， 表示此处不会出现粒子。
当量子数n = 1时，中间出现粒子的概 率密度最大；当量子数n = 2时，有两 个地方出现粒子的概率密度最大。
A 2/ a
可见：波函数的归一化常数与能级的级 次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。
| n ( x) |2 2 2 nπ sin x a a
这些结果与经典力学根本 不同，按照经典力学的观 点，粒子在势阱内各处出 现的概率应该相等。
能级个 数不妨 取4。
一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。 在两壁处，波函数恒为零。 量子数n也是波腹的个数， 波腹之间有n - 1个波节。