2 d E ,0 x a 2 2 d x 2
2 d U 0 E , x 0, x a 2 2 d x 2
当势壁无限高是，不可能 在势阱外发现能量有限的 粒子，故阱外波函数为0
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解；
令
2E k
2 势阱内定态薛定谔方程为： x k x 0
x
量子力学中把在势 1 2 U x kx 场 中运 2 动的微观粒子称为 线性振子 ，其势能 曲线为抛物线
讨论谐振子的意义：
（1）许多物理体系的 势能曲线可以近似看 作抛物线，双原子分 子的势能曲线在稳定 平衡点a附近的势能曲 线。 （2）复杂的振动可以 分解为相互独立的谐振 动动；
（3)处理线性谐振子的方法适用于：坐标表象、 粒子表象和电磁场量子化。
线性谐振子的哈密顿量
d 当， p i 时， dx
p2 1 H 2 x 2 2 2
线性谐振子的哈密哈密顿算符
2 d 2 1 2 2 x H 2 2 dx 2

故，定态薛定谔方程为
2 d 2 1 2 2 - 2 dx2 2 x x E x
2
1. 单调性；
2. 有限性；
在有限的空间范围内发现粒子的概率有限

3. 连续性；
V0
x, t

2
d 有限值
定态薛定谔方程包含 x, t 对坐标的二阶导数， 要求 x, t 及其对坐标的一阶导数连续。
1.5.2 一维无限深势阱 设质量为 的粒子在势场中运动
0,0 x a (势阱内） U x （1.5.1） , x 0, x a（时间外）
2 2 2n 1 En 2 2a
当量子n数很大时，能级可以看作是连续的， 量子效应消失，并过渡到经典情况。
当n
En 2n 1 时， E n 2 0 n
（4）激发态的能级
2 nx n x sin a a
n x 0
n x
（1.5.11）
6. 解的物理意义。
（1）束缚态与离散能级 由
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
可以知道，粒子不可能达到无穷远处 粒子被束缚在有 限的空间区域的 状态称为束缚态 粒子可达到无 限远处的状态 称为非束缚态
用波函数标准条件和归一化条件求解上述势 场的定态薛定谔方程这类问题的求解步骤：
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
2. 引入参数简化方程，得到含待定系数的解； 3. 有波函数标准条件确定参数k； 4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A； 5. 由参数k得粒子的能量E；
6. 解的物理意义。
1. 写出分区的定态薛定谔方程；
由此得到0<x<a区间内的解：
x Asin；
x A sinkx
由势阱外波函数：
0 a A sinkx ， 0
n k , n 1,2, a
x 0

当k=0;
nx 代入， x A sin kx 得： n x A sin , n 1,2, a
当n<0时，得到的解与n>0的线性相关，舍去
由0 0 0 c得 x Bx
由0 0 a Ba得B 0
0 x （舍去） 0
一般情况下束缚态的能谱为离散谱
（2）基态的能级不为零，是微观粒子波动性的表现
2 2 E1 0 2 2 a
在经典物理中，粒子的动量可以为零，有确 定的坐标值和动量为零。
在量子力学中，坐标和动量不同时具有确定值。
能级分别不均匀。 （3）激发态的能级 En与n 成正比，
2
En En 1
4. 有波函数的归一化条件确定归一化常数A；
1 n x dx
2

a
0
nx a 2 A sin dx A a 2
2 2
取A为实数，则 A
a ,则 2
2 nx sin ,0 x a n x a a 0, x 0, x a
薛定谔方程的解题步骤： 1.引入参数简化方程
ax,a
2 d d d d d 2 2 d a , 2 a dx d dx d dx d 2
引人 2 E 则，定态薛定谔方程可化为
- 0
cn
2
1.5.3 线性谐振子
1 2 1 2 2 势场， U x kx x 2 2
（1）许多物理体 系的势能曲线可以 近似看作抛物线， 双原子分子的势能 曲线在稳定平衡点 a附近的势能曲线。
经典力学中，粒子 受到弹力F=-kx作 用时的势能
1 2 U x - F x dx kx 0 2
（5）薛定谔方程的解的线性组合
n x，t cn n x e
n 1

i En t
在一维无限深势阱中粒子可能的态： 定态： n x e E nt
i
线性叠加态： n x，t cn n x e
n 1

i En t
粒子处于定态的概率为：
2
2.求方程 - 2 0在 的渐进解
1.5.1 波函数的标准条件
波函数的条件解释指出，归一化的波函数是概 率波的振幅。在数学上应满足：


1. 单调性；
2. 有限性； 3. 连续性；
这是指 x, t 应该是 x ，t 的单值函数。因为 x, t 是t 时刻在 x处发现粒子的概率密度，即要求 x, t 为单 值函数，但不要求 x, t 是单值函数。