(α −A β ) ∈ A −1 (0) . 由于 α = A β + (α − A β ) , 则
α ∈ A V + A −1 (0), 所以 V = A V + A −1 (0) . 又由于
dim A V + dim A
所以为 A V + A
−1
−1
(0) = n = dim ( A V + A
又 dim A V + ( E −A ) V = n = dim A V + dim ( E −A ) V ,
所以 V = A V ⊕ ( E −A ) V .
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
下面证明本题结论. 下面证明本题结论. 任给 α ∈ V , 则有
λ1 此基下的矩阵为 A =
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
⋱
λr
0 ⋱
, 0
其中 λ i ≠ 0 ( i = 1, 2,⋯ , r ) . 由于 A
3
= A 2 ,A ≠ A 2 ,
则有 A3 = A2 , A ≠ A2 . 因此 λ 3 = λ i2 , 从而有 i
取 ηi ∈ V 使得 A ηi = ε i , i = 1, 2,⋯ , s , 令子空间
W = L (η 1,η 2 ,⋯ ,η s ) . 证明: V = W ⊕ A 证明:
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
−1
(0) .
A AV
A
−1
(0)
ε1 ε2
⋮
η1 η2
⋮
εs
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
A ( ε 1 , ε 2 ,⋯ ε n ) = ( ε 1 , ε 2 , ⋯ ε n ) A , ∴ ( E −A
) ( ε 1 , ε 2 , ⋯ , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n ) ( E − A ) ,
−1
−1
(0) ) ,
直和, (0)直和, 则 A V ∩ A
(0) = {0} .
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
维线性空间, 7.52 设V 为n维线性空间, N , T 为V 的子空间,并且 维线性空间 的子空间,
dim N + dim T = n . 证明:存在线性变换 A :V → V 证明:
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
子空间, 证 由于α 1 + α 2 + ⋯ + α k ∈W , W 是 V 的A − 子空间,
∴ A (α 1 + α 2 + ⋯ + α k ) = λ 1α 1 + λ 2α 2 + ⋯ + λ kα k ∈ W ,
且 λ 1 (α 1 + α 2 + ⋯ + α k ) ∈ W , 两式相减则 ( λ 2 − λ 1 ) α 2 + ⋯ + ( λ k − λ 1 ) α k ∈ W .
λ 1= λ 2 = ⋯ = λ r = 1,
导致矛盾. 所以 A = A2 , 导致矛盾. 阶方阵, 7.50 设 A 为 n 阶方阵,并且 R ( A ) + R ( E − A ) = n .
A2 = A . 证明: 是幂等矩阵 是幂等矩阵, 证明: A是幂等矩阵,即
维线性空间, 证 设 V 为 n 维线性空间, 取其一组基 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε n , 对于矩阵 A , 则存在线性变换 A :V → V 使得
又N ⊂A
−1
(0) ,dim A
−1
−1
(0) = n − dim A V = dim N ,
所以 N = A
(0).
为线性变换, 维线性空间, 7.53 设 V 为 n 维线性空间, A :V → V 为线性变换,
A V = L ( ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε s ) , 其中 ε 1 , ε 2 ,⋯ , ε s 线性无关, 线性无关,
A α i = 0 , i = 1, 2,⋯ , r ; A α j = β j , j = r + 1,⋯ , n .
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
那么 A V = L ( A α1 ,⋯ , A α r , A α r +1 ,⋯ , A α n )
= L ( β r +1 ,⋯ , β n ) = T ,
(0), 那么
A α = A 2 β , 因此 A V ⊂ A 2V . 所以 A 2V = A V , dim A 2V = dim A V . 从而 dim A 2V = dim A V , 那么 A 2V = A V . 必要性) (必要性)设
α ∈ V , 则存在 β ∈ V 使得 A α = A 2 β , 那么 任给
) ( ) − λ ) λ α +⋯ + (λ − λ ) λ α ∴(λ − λ ) (λ − λ )α +⋯ + (λ − λ ) (λ
2 1 2 2 k 1 2
3 1 3 2 3 k 1
∴ λ 2 − λ 1 λ 2α 2 + ⋯ + λ k − λ 1 λ kα k ∈ W ,
k
( (λ
∈W ,
由于 α i ∈ A V ( i = 1, 2,⋯ , r ) , 则存在 β i ∈ V 使得
A β i = α i , i = 1, 2,⋯ , r .
由上题知, 由上题知, 向量组 β 1 ,⋯ , β r , β r +1 ,⋯ , β n 线性无关, 线性无关, 因此它们可构成V 的一组基. 因此它们可构成 的一组基. 定义线性变换B : V → V 使得 B α i = β i ( i = 1, 2,⋯, n) .
BA ( k1 β 1 + k2 β 2 + ⋯ + kr β r + kr +1 β r +1 + ⋯ + kn β n )
= k1 β 1 + k2 β 2 + ⋯ + kr β r .
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
A
A
−1
(0)
α r +1
⋮
β r +1
⋮
αn
βn
− λ 2 αk ∈W ;
k
)
一直这样作下去则有
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
( λk − λ1 ) ( λk − λ2 )⋯ ( λk − λk −1 ) α k ∈ W .
所以 α k ∈ W , 从而有 α 1 + α 2 + ⋯ + α k −1 ∈ W ; 依此方法进行下去则 α k −1 ∈ W ,⋯ , α 2 ∈ W , α 1 ∈ W . 所以 dim W ≥ dim L (α 1 , α 2 ,⋯ α k ) = k . 为线性变换, 7.56 设V为P上的向量空间,A :V → V 为线性变换, 为 上的向量空间, 上的向量空间
α 1 是 A 的特征值 λ 的特征向量, α 1 , α 2 ,⋯ , α s 满足 的特征向量,
(A
− λ E ) α i + 1 = α i , i = 1, 2,⋯ , s − 1.
证明: 证明: α 1 , α 2 ,⋯ , α s 线性无关. 线性无关.
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
上的n 维线性空间, 7.49 设V 为数域 P 上的 维线性空间,A :V → V 是 线性变换, 线性变换,已知 A
3
问是否存在V = A 2 ,A ≠ A 2 , 问是否存在 的
在此基下的矩阵为对角矩阵? 一组基使得A 在此基下的矩阵为对角矩阵? 反证) 设存在V 证 (反证) 设存在 的一组基α1 , α 2 ,⋯ , α n使得 A 在
2
−1
−1
−1
(0) = {0} .
充分性) 证 (充分性) 设 A V ∩ A
(0) = {0} , 由定理 11 ,则
2
V = A V ⊕A
(0) . 显然 A V ⊂ A V ; ∀A α ∈ A V ,
−1
可设 α = A β + γ , 其中 β ∈ V , γ ∈ A
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
证 由于 ( A − λ E ) α i + 1 = α i , i = 1, 2,⋯ , s − 1, 那么
ηs
V
线性变换(高等代数选讲) 第七章 线性变换(高等代数选讲)
V
证 先证明 W + A
−1
(0)是直和. ∀α ∈ W ∩ A 是直和.
−1
(0),
可设 α = k1η1 + k2η2 + ⋯ + k sη s , 且有 A α = 0 , 因此
k 1ε 1+ k 2ε 2 + ⋯ + k s = 0 ,
α = 0 , W ∩ A −1 (0) = {0} . 所以
再证明 η1 ,η2 ,⋯ ,η s 线性无关. 设 线性无关.
u1η1 + u2η2 + ⋯ + usη s = 0 ,
则 u1ε 1 + u2ε 2 + ⋯ + usε s = 0 , 因此 u1 = u2 = ⋯ = us = 0. 下面证本题结论. 下面证本题结论.由于dim A V + dim A