第五章 留数留数（Residue ）理论是复积分理论和复级数理论相结合的产物，它既是复积分问题的延续，又是复级数应用的一种体现，它对复变函数论本身以及实际应用都有着重要的作用．例如，它能给复积分的计算提供一种有效的方法，能为解析函数的零点和极点的分布状况的研究提供一种有效的工具．另外，它还能为数学分析中一些复杂实积分的计算提供有效地帮助．本章，我们首先引进孤立奇点处留数的定义，利用洛朗展式建立留数计算的一般方法——洛朗展式法，以及各类孤立奇点处留数计算的更细致的方法．在此基础上，再建立反映复变函数沿封闭曲线积分与留数之间密切关系的留数定理，从而有效地解决“大范围”积分计算的问题．其次，介绍留数定理的两个方面的应用．一方面建立利用留数定理计算数学分析中某些定积分和反常积分的计算方法，另一方面建立讨论区域内解析函数的零点和极点分布状况的有效方法，即幅角原理与儒歇定理．一．学习的基本要求1．掌握函数在其孤立奇点处的留数的概念以及函数在孤立奇点处的留数计算的一般方法，即洛朗展式法．注意函数在有限孤立奇点处的留数和孤立奇点∞处的留数在定义方面的差异以及罗郎展式法方面的差异．并能熟练地运用洛朗展式法求函数在其孤立奇点处的留数． 2．熟练掌握函数在各类有限孤立奇点处的留数的具体计算方法以及孤立奇点∞处留数的的两种具体计算方法：洛朗展式法：1Res ()z f z β-=∞=-，其中1β-为()f z 在∞处的洛朗展式中1z 的系数．化为有限点处的留数：2011Res ()Res()z z f z f z z=∞==-． 3．了解有限可去奇点处的留数与可去奇点∞处的留数的差异，理解为什么函数在可去奇点∞处的留数一般不一定为零？4．掌握留数定理以及含∞的留数定理（即留数定理的推广），并能熟练地运用它们计算函数沿封闭曲线的积分．能用留数定理导出第3章中的柯西定理和柯西积分公式，从而正确地认识为什么留数定理可以看成柯西定理和柯西公式的统一．5．了解利用留数计算实积分的基本思想或基本原理：通过适当方法将实积分转化为适当复变函数沿封闭曲线的积分．熟悉将实积分转化为适当复变函数沿适当封闭曲线的积分的两种途径：途径一：通过适当变量替换． 途径二：作适当补充路径．6．熟悉补充积分路径计算积分时，常用的如下三个引理：引理0 设函数()f z 在角形闭区域上连续，且lim ()z z Dz f z A →∞∈⋅=，记 0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，R Γ的方向是逆时针，则21lim()d ()RR f z z i A θθΓ→+∞=-⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到0lim()()z z Dz z f z A →∞∈-=，2101d ()Rz i z z θθΓ=--⎰以及00210()()()()()d ()d d RRR z z f z A z z f z Af z z i A z z z z RθθΓΓΓ------=≤-⎰⎰⎰．引理1 设函数()f z 在闭区域:D 1020arg()z z θθπ≤≤-≤≤，00r z z ≤-<+∞上连续，记0{,}R z z z R z D Γ=-=∈，0m >，R Γ的方向是逆时针，若lim ()0z z Df z →∞∈=，则lim()d 0Rimz R f z e z Γ→+∞=⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到其中用到了约当不等式：当02πθ≤≤时，2sin θθθπ≤≤．引理2 设函数()f z 在圆环形闭区域:D 1020arg()2z z θθπ≤≤-≤≤，000z z r ≤-≤上连续，记0{,}r z z z r z D Γ=-=∈，r Γ的方向是逆时针，且00lim()()z z z Dz z f z A →∈-=，则210lim ()d ()rr f z z i A θθ+Γ→=-⎰．［提示］利用积分的估值性，并注意到2101d ()rz i z z θθΓ=--⎰，以及 00210()()()()()d ()d d rrrz z f z A z z f z Af z z i A z z z z rθθΓΓΓ------=≤-⎰⎰⎰．7．熟练掌握以下几种类型的实积分利用留数来计算的方法① 形如20(cos ,sin )d R πθθθ⎰或(cos ,sin )d R ππθθθ-⎰的积分，其中(cos ,sin )R θθ是三角有理函数，且分母函数在[0,2]π或[,]ππ-上恒不为零． 特别，当(cos ,sin )R θθ是偶函数时，还可考虑积分(cos ,sin )d R πθθθ⎰．注意：● 当被积函数是2cos θ或2sin θ的有理函数时，可先用公式21cos (1cos 2)2θθ=+或21sin (1cos 2)2θθ=-降次，再计算．● 当被积函数是(cos ,sin )cos R m θθθ⋅或(cos ,sin )sin R m θθθ⋅时，可利用欧拉公式将积分先化为 再计算．② 形如()d R x x +∞-∞⎰的反常积分，其中()R x 为实有理函数．特别，当()R x 是偶函数时，还可考虑积分()d R x x +∞⎰．注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径● 当()R x 的分母在¡上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径．● 当()R x 的分母在¡上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数R 为半径的上半圆周和以()R x 在¡上的一阶零点为心充分小的正数ε为半径的上半圆周作为补充路径．③ 形如()d imxR x e x +∞-∞⋅⎰或()cos d R x mx x +∞-∞⋅⎰或()sin d R x mx x +∞-∞⋅⎰的反常积分，其中()R x 为实有理函数，0m >．特别，当()R x 是偶函数时，还可考虑积分0()cos d R x mx x +∞⋅⎰；当()R x 是奇函数时，也可考虑积分()sin d R x mx x +∞⋅⎰．注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，可分两种情况补充积分路径● 当()R x 的分母在¡上恒不为零时，可用以原点为心半径充分大的上半圆周作为补充路径．● 当()R x 的分母在¡上仅有一阶零点时，可用以原点为心充分大的正数R 为半径的上半圆周和以()R x 在¡上的一阶零点为心充分小的正数ε为半径的上半圆周作为补充路径．④ 被积函数含有因子ln x ，x α注意：此类型的积分的柯西主值（P .V.值）用留数来计算时，常选择相应多值函数的支割线的两沿以及单独围绕各支点的适当圆周作为补充积分路径． 8．理解对数留数1()d 2()C f z z i f z π'⎰的几何意义，掌握对数留数的计算公式．并掌握下面的一个结论：若0z 是函数()f z 的m 阶零点或m 阶极点，则0z 必为()()f z f z '的一阶极点，且当0z 是函数()f z 的m 阶零点时，0()Res()z z f z m f z ='=； 当0z 是函数()f z 的m 阶极点时，0()Res()z z f z m f z ='=-． 9．正确理解幅角原理与儒歇定理的条件和结论，并能熟练地运用幅角原理和儒歇定理来讨论区域内函数的零点和极点的分布情况或者方程根的分布情况．10．附：孤立奇点处留数的常用计算方法；合理使用留数定理计算复积分的技巧；补充积分路径利用留数计算实积分的基本思路；用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路．●孤立奇点处留数的常用计算方法我们仅对函数的孤立奇点才定义留数，对有限孤立奇点处的留数的计算归纳起来，主要有下面的三种常用方法，① 洛朗展式法，即若()f z 在其孤立奇点a 的去心邻域0z a R <-<内的罗郎展式为 则1Res ()z af z c -==，其中1c -是罗郎展式中1z a-这一项的系数。

这种方法是留数计算的一般方法．② 孤立奇点的类型法，即根据孤立奇点的具体类型来计算留数的方法，其具体方法如下：若a 为函数()f z 的可去奇点，则Res ()0z af z ==．若点a 为函数()f z 的m 阶极点，则(1)1Res ()lim[()()](1)!m m z az af z z a f z m -→==-⋅-．特别，若点a 为函数()f z 的1阶极点，则 Res ()lim()()z az af z z a f z →==-⋅．若点a 为函数()f z 的1阶极点，且()()()z f z z ϕψ=，其中()z ϕ和()z ψ都在点a 解析，()0a ϕ≠，()0a ψ=，()0a ψ'≠（即a 为()z ψ的1阶零点），则 ()Res ()lim()()()z az aa f z z a f z a ϕψ→==-⋅='． 若点a 为函数()f z 的2阶极点，则2Res ()lim[()()]z az af z z a f z →='=-⋅．若()()()mz f z z a ϕ=-，其中()z ϕ在点a 解析，则(1)(1)1()Res ()lim[()()](1)!(1)!m m m z a z a a f z z a f z m m ϕ--→==-⋅=--．（这个公式表明：只要点a 是()f z 的至多m 阶极点，我们仍可用m 阶极点留数的计算公式计算Res ()z af z =）本性奇点处的留数的计算一般直接用洛朗展式法计算．③ 留数定理法，即若函数()f z 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点1z ，2z ，L ，n z ，∞．则()f z 在扩充复平面上的所有奇点（包括∞）处的留数之和等于0．即1Res ()Res ()0ini z z z i f z f z =∞==+=∑．注意：方法③会涉及到∞处的留数．对孤立奇点∞处的留数的计算有下面的三种常用方法：① 洛朗展式法，即若()f z 在其孤立奇点∞的去心邻域0R z ≤<<+∞内的罗郎展式为 则1Res ()z f z c -=∞=-．注意此公式与有限孤立奇点处留数计算公式的区别． ② 化为有限孤立奇点处的留数，即2011Res ()Res[()]z z f z f z z=∞==-⋅． ③ 留数定理法，即若函数()f z 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点1z ，2z ，L ，n z ，∞．则1Res ()Res ()ini z z z i f z f z =∞===-∑．注意：关于函数在孤立奇点∞处的留数，我们不能根据孤立奇点∞的类型来计算，例如，∞为函数()f z 的可去奇点，并不一定保证Res ()0z f z =∞=（如1()f z z=，显然∞为它的可去奇点，但Res ()10z f z =∞=-≠）．●使用留数定理计算复积分的技巧留数定理和留数定理的推广提供了计算围线积分的一种方法，它是对第三章复积分计算的一种补充．通常在计算复积分()d Cf z z ⎰（其中C 是围线）时，如果()f z 在围线C 内部的孤立奇点不太多，可考虑用留数定理，将此积分的计算化为函数()f z 在C 内部各孤立奇点处的留数来计算；如果()f z 在围线C 内部的孤立奇点比较多，而在C 外部的孤立奇点（包括∞）不太多，可考虑用留数定理的推广，将此积分的计算化为函数()f z 在C 外部各孤立奇点（包括∞）处的留数来计算．●补充积分路径利用留数计算实积分的基本思路对于一个实函数()f x 沿x 轴上一条有限线段[,]a b 的积分()b af x dx ⎰，我们在平面上补充一条或几条适当的辅助曲线Γ，使线段[,]a b 和Γ一起构成一条围线，并围成一个区域D （如下图）． 如果存在除D 内有限个点外解析，在D D C =+上也除这有限个点外连续的辅助函数()g z ，使得在[,]a b 上()g z 或()g z 的实部或虚部中的一个等于()f x ，则由留数定理就有其中∑是()g z 在D 内的奇点处的留数总和．假如上式中的第二个积分能够计算出来，则()b af x dx ⎰的计算问题就解决了．如果a 或b 不是有限数，则积分()b af x dx ⎰为反常积分，此时，可由上式两端取极限，如能求得()g z dz Γ⎰的极限，就能至少得到所求反常积分的柯西主值（注意，当反常积分收敛时，柯西主值就是反常积分的值；通常情况下，所考虑的问题，只要求得到柯西主值即可）．●用儒歇定理讨论解析函数在有界区域内零点的个数的思路儒歇定理是讨论解析函数在区域内零点分布或方程在区域内根的个数的一种强有力的工具．用儒歇定理讨论解析函数()F z 在有界区域D 内零点的个数或者方程()0F z =在D 内根的个数时，其关键是寻找满足定理要求的()f z ，而()z ϕ可通过()()F z f z -来得到， 其中()f z 可按下面的两个原则来寻找：一方面()f z 在D 的零点个数比较容易得到，另一方面在区域D 的边界上，()()()()f z z F z f z ϕ>=-．二．问题研究问题１：探讨下面几类实积分的留数计算的一般公式： 公式１：若实有理函数()()()P x R x Q x =满足：()P x 和()Q x 互质，分母()0Q x ≠（x ∈¡），且2Q P ∂≥∂+，则Im 0()d 2Res ()kk z z z R x x iR z π+∞-∞=>=∑⎰，其中k z 是()R z 在上半平面内的孤立奇点，Im 0Res ()kk z z z R z =>∑表示对()R z 在上半平面内的所有孤立奇点的留数求和．公式２：若实有理函数()()()P x R x Q x =满足：()P x 和()Q x 互质，分母()0Q x ≠（x ∈¡），且1Q P ∂≥∂+，0m >，则Im 0()d 2Res ()kk imx imz z z z R x e x iR z e π+∞-∞=>=∑⎰，其中k z 是()R z 在上半平面内的孤立奇点，Im 0Res ()kk imz z z z R z e =>∑表示对()imz R z e 在上半平面内的所有孤立奇点的留数求和．公式３：若实有理函数()()()P x R x Q x =满足：()P x 和()Q x 互质，分母()Q x 在¡上仅有一阶零点，且1Q P ∂≥∂+，0m >，则Im 0Im 01()d 2(Res ()Res ())2kjk j imx imz imz z z z z z z R x e x i R z e R z e π+∞-∞==>==+∑∑⎰， 其中k z 是()R z 在上半平面内的孤立奇点，j z 是()R z 在¡上的一阶极点．公式４：若实有理函数()()()P x R x Q x =满足：()P x 和()Q x 互质， ()Q x 在[0,)R +=+∞上恒不为零，且1Q P ∂≥∂+，01α<<，则20\[0,)()2()d Res1kk iz z z R x iR z x x e z απααπ+∞-=∈+∞=-∑⎰£， 其中z α为\[0,)+∞£上满足11z zα==上的解析分支（即主值支），k z 为()R z z α在\[0,)+∞£内的孤立奇点，即()Q z 在\[0,)+∞£内的零点．公式５：若实有理函数()()()P x R x Q x =满足：()P x 和()Q x 互质， ()Q x 在[0,)R +=+∞上恒不为零，且2Q P ∂≥∂+，则 其中ln z 为\[0,)+∞£上满足1ln 0z z==上的解析分支（即主值支），k z 为解析分支2()ln R z z 在\[0,)+∞£内的孤立奇点，即()Q z 在\[0,)+∞£内的零点．公式６：设实有理函数()()()P x R x Q x =满足：()P x 和()Q x 互质，分母()Q x 在[0,1]上恒不为零，则 （１）为\[0,1]£上满足在割线[0,1]的上沿取正数的解析分支（即主值支），k z为解析分支(R z \[0,1]£内的孤立奇点，即()Q z 在\[0,1]£内的零点． （２）为\[0,1]£上满足在割线[0,1]的上沿取正数的解析分支（即主值支），k z在\[0,1]£内的孤立奇点，即()Q z 在\[0,1]£内的零点．问题２：按下面的步骤探讨数项级数的和： 第一步：设N C 表示曲线1()2x N π=±+和1()2y N π=±+围成的正方形区域的边界，其中N 为正整数，N C 的方向为逆时针． （１）证明：对任意复数z x iy =+∈¢，总有sin sin z x ≥和sin sinh z y ≥其中1sinh ()2y yy e e -=-． （２）利用（１）证明：在正方形区域的竖边界上有sin 1z ≥；而在正方形区域的竖边界上有sin sinh2z π≥．从而存在与N 无关的正常数A ，使得对任意N z C ∈，都有sin z A ≥．（３）证明：2116d sin (21)NC z z z N A≤+⎰，从而推出21lim d 0sin N C N z z z →+∞=⎰．第二步：（１）利用留数定理证明：222111(1)d 2[2]sin 6NnNC n z i z z n ππ=-=+∑⎰．（２）证明：1221(1)12n n n π+∞=-=∑．问题３：按下面的步骤探究儒歇定理的另一种证法．设D 是有界区域，C 为其边界，()f z 和()g z 都在D D C =+上解析，且在C 上，()()f z g z >，对任意[0,1]t ∈，（１）证明：对每一个固定的[0,1]t ∈，函数()()f z tg z +在D 内解析，在D D C =+上连续，且在C 上()()0f z tg z +>．（２）在[0,1]上定义函数如下：1()()()d 2()()C f z tg z t z i f z tg z π''+Φ=+⎰，01t ≤≤． 证明： ａ）对每一个固定的[0,1]t ∈，()t Φ表示函数()()f z tg z +在区域D 零点的个数； ｂ）对任意0,[0,1]t t ∈，20()()()f g f g f g f g f tg f t g f g ''⋅-⋅''⋅-⋅≤++-； ｃ）对任意0,[0,1]t t ∈，存在常数0A ≥，使得 其中21d 2()C f g f g A s f g π''⋅-⋅≥-⎰． （３）证明：()t Φ为[0,1]上连续的函数，且为常函数．从而(0)(1)Φ=Φ，即()f z 和()()f z g z +在D 内有相同的零点个数．参考文献：[1]方企勤．复变函数教程．北京：北京大学出版社，1996：148~189．[2]余家荣．复变函数（第三版）．北京：高等教育出版社，2000：88~108．[3]郑建华．复变函数．北京：清华大学出版社，2005：74~94．[4]范宜传，彭清泉．复变函数习题集．北京：高等教育出版社，1980：136~155．[5]James Ward Brown and Ruel V．Churchill．Complex Variables and Applications(Seventh Edition)．McGraw-Hill Higher Education，Burr Ridge，IL，2004．。