概率论与数理统计复习题一．事件及其概率1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1) ,,A B C 都不发生； (2) ,,A B C 不都发生； (3) ,,A B C 至少有一个发生； (4) ,,A B C 至多有一个发生； (5) ,A B 不同时发生且C 发生。

2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ⋃-。

3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ⋃=，求(),()P B P A B -。

4. 设B A ,及B A 发生的概率分别为3.0、4.0、6.0，求)(B A P 。

5. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P A B ⋃-。

6. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ⋃⋃。

7. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求(1) 取到两个黄球的概率；(2) 取到一个黄球、一个白球的概率。

8. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。

9. 从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。

10. 某人射击时中靶的概率为34，如果射击直到中靶为止，求射击次数为3的概率。

11. 甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？ 12. 某大卖场供应的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？二．一维随机变量及其数字特征1. 已知X 的概率密度函数1,02()0,Ax x f x else+<<⎧=⎨⎩，求k 与12P X ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭。

2. 设X 的概率密度函数,01()0,ax b x f x else+<<⎧=⎨⎩，已知23EX =，求,a b 。

3. 设)1.0,3(~B X ，求{}2,{1}P X P X =≥。

4. 设三次独立随机试验中事件A 出现的概率相同，已知事件A 至少出现一次的概率为6437，求A 在一次试验中出现的概率p 。

5. 某种灯管的寿命X （单位：小时）的概率密度函数为21000,1000()0,x f x x else ⎧>⎪=⎨⎪⎩，(1) 求{1500}P X >；(2) 任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。

6. 设~(,), 1.6, 1.28,X B n p EX DX ==求,n p 。

7. 设)(~λπX ，求)32(2-+X X E 。

8. 设]6,1[~-U X ，求{}24≤<-X P 。

9. 设X 服从)5,1(-上的均匀分布，求方程210t Xt ++=有实根的概率。

10. 设~[1,3]X U ，求1,DX E X ⎛⎫⎪⎝⎭。

11. 设某机器生产的螺丝长度)0036.0,05.10(~N X 。

规定长度在范围12.005.10±内为合格，求螺丝不合格的概率。

12. 设)4,0(~N X ，30002+-=X Y ，求)(Y E 、)(Y D 。

13. 设X 与Y 独立，且),1,1(~N X ),3,1(~N Y 求(2),(2)E X Y D X Y --。

14. 设1~(4),~4,,0.6,2XY X Y B πρ⎛⎫= ⎪⎝⎭求(32)D X Y -。

15. 设]2,1[~-U X ，求X Y =的概率密度函数。

三．二维随机变量及其数字特征1. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布律为50.2k0.05(1) 求k ；(2) 求{}{}3,4,8,{3|4}P X Y P X Y P X Y ≤>+<==； (3) 求Y X ,的边缘分布律； (4) 判断X 与Y 是否相互独立。

2. 已知),(Y X 的联合分布律为：(1) 求a ；(2) 求XY ρ，并判断,X Y 是否相关； (3) 判断,X Y 是否独立。

3. 已知),(Y X 的联合分布律为：且X 与Y 相互独立，求： (1) b a ,的值； (2) }0{=XY P ； (3) ,X Y 的边缘分布律； (4) ,,,EX EY DX DY ； (5) Z XY =的分布律。

4. 已知),(Y X 的概率密度函数为(),02,01(,)0,c x y x y f x y else+≤≤≤≤⎧=⎨⎩，求：(1) 常数c ；(2) 关于变量X 的边缘概率密度函数)(x f X ；(3) )(Y X E +。

5. 设),(Y X 的概率密度函数为：2,01,02(,)0,x Axy x y f x y else ⎧+≤≤≤≤=⎨⎩，求：(1) A ；(2) {}0.5P X ≥； (3) cov(,)X Y 。

6. 设),(Y X 的概率密度函数为：,01,0(,)0,A x y x f x y else≤≤≤≤⎧=⎨⎩，(1) 求A ；(2) 求(),()X Y f x f y ； (3) 判断,X Y 是否独立； (4) 求12P Y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭； (5) 求(),cov(,)E XY X Y ； (6) 求2X Z =的概率密度函数。

四．中心极限定理1. 某种电器元件的寿命服从指数分布(0.01)E （单位：小时），先随机抽取16只，求其寿命之和大于1920小时的概率。

2. 生产灯泡的合格率为8.0，记10000个灯泡中合格灯泡数为X ，求(1) )(X E 与)(X D ；(2) 合格灯泡数在8040~7960之间的概率。

3. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于m 3，现从这批木柱中随机地取100根，问至少有30根短于m 3的概率是多少？4. 某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。

设每个电话分机是否使用外线通话相互独立 ，设每时刻每个分机有05.0的概率要使用外线通话。

问总机至少需要多少外线才能以不低于9.0的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?五．抽样分布1. 设21,X X 是来自正态总体)9,0(N 的简单随机样本，已知221)(X X a Y +=服从)1(2χ分布，求a 。

2. 总体~(72,100)X N ，(1) 对容量50n =的样本，求样本均值X 大于70的概率；(2) 为使X 大于70的概率不小于0.95，样本容量至少应为多少？3. 设1210,,,X X X 取自正态总体(0,0.09)N ，求1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑。

4. 设12,,,n X X X 来自总体2~(,)X N μσ，2S 为样本方差，求22,ES DS 。

六．参数估计1. 设随机变量),(~p n B X ，X 为样本均值, 求未知参数p 的矩估计量。

2. 设总体X 的概率密度函数为：1,1()10,x f x elseθθ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，其中θ是未知参数，求θ的矩估计量。

3. 设总体X 的分布律为现有样本：1,1,1,3,1,2,3,2,2,1,2,2,3,1,1,2，求θ的矩估计值与极大似然估计值。

4. 设总体X 的概率密度函数为(),()0,x e x f x else θθ--⎧≥=⎨⎩(1) 求)(X E ； (2) 求θ的矩估计量。

5. 设轴承内环的锻压零件的平均高度X 服从正态分布)4.0,(2μN 。

现在从中抽取20只内环，其平均高度32.3x =毫米，求内环平均高度的置信度为%95的置信区间。

6. 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力(单位：千克力/平方米)，从中随机地选取了10个样品作实验,由实验所得数据算得：220,6720==s x ，设钢索所能承受的张应力服从正态分布 ,试在置信水平95%下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。

7. 冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取10根，测试折断力，得数据为578，572，570，568，572，570，570，596，584，572求：(1)样本均值和样本方差；(2)方差的置信区间（0.05α=）。

七．假设检验1. 某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量(单位：千克)服从正态总体分布)4,(μN ，今随机地抽查了9袋，称出它们的重量如下： 50，48，49，52，51，47，49，50，50问在显著性水平05.0=α下能否认为袋装糖的平均重量为50千克？ 2. 某批矿砂的5个样本的含金量为：3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值总体服从正态分布，问在显著性水平=α0.1下能否认为这批矿砂的金含量的均值为3.25？ 3. 某种螺丝的直径~(,64)X N μ，先从一批螺丝中抽取10个测量其直径，其样本均值575.2x =，方差268.16s =。

问能否认为这批螺丝直径的方差仍为64（0.05α=）？4. 某厂生产的电池的寿命长期以来服从方差25000σ=的正态分布。

现从一批产品中随机抽取26个电池，测得其寿命的样本方差29200s =，问能否推断这批电池寿命的波动性较以前有显著的增大（0.02α=）？。