＝π(10＋20)× 20＋π× 2＋π× 2 10 20 ＝1 100π(cm2)． 故圆台的表面积为 1 100π cm2.
[研一题] [例2] 五棱台的上、下底面均是正五边形，边长
分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长 是13 cm，求它的侧面积． [自主解答] 如图是五棱台的其中一个侧
侧棱长的乘积．
[研一题] [例1] (1)圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩
形，则圆柱的表面积为
A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
(
)
(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧
面积的比为
A．1∶1 C．1∶3 [自主解答] B．1∶2 D．1∶4
如图所示，圆柱 OO′的底面半径为 2 cm， 高为 4 cm，点 P 为母线 B′B 的中点， 2 ∠AOB＝ π，试求一蚂蚁从 A 点沿圆柱表面爬 3 到 P 点的最短路程．
[巧思]
Байду номын сангаас将圆柱的侧面展开，将A、P两点转化到同一个
平面上解决．
[妙解] 将圆柱侧面沿母线 AA′剪开展平为平面 图，如图，则易知最短路径为平面图中线段 AP. 2 4 在 Rt△ABP 中，AB＝ π× 2＝ π(cm)， 3 3 PB＝2(cm)， 2 ∴AP＝ AB ＋BP ＝ 3
[悟一法] 解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部 分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的 表面积问题进行求解．
[通一类]
3．已知底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm 的圆柱，挖去 一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求 所得几何体的表面积．
解： 如图， 由题意易知圆锥的母线长为 3 cm. 则 S＝S 底＋S 柱侧＋S 圆锥侧 ＝π×( 3)2＋2π× 3× 6＋π× 3× 3 ＝(3＋6 2＋3 3)π(cm2).
[悟一法] 要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据 题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表 面积公式所需条件，然后应用公式进行解答．
[通一类]
2．已知正三棱锥 V－ABC 的主视图，俯视图如图所 示，其中 VA＝4，AC＝2 3，求该三棱锥的表面积．
解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图， 且 VA＝VB＝VC＝4， AB＝BC＝AC＝2 3， 取 BC 的中点 D，连接 VD，则 VD＝ VB2－BD2 ＝ 42－ 32 ＝ 13，
(
)
(1)圆柱的侧面积S侧＝6π×4π＝24π2.①
以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面周长，则2πr＝4π， 即r＝2，∴S底＝4π，S全＝S侧＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋
1)．②以边长为4π的边为轴时，6π为圆柱底面周长，则
2πr＝6π，即r＝3，∴S底＝9π，∴S全＝S侧＋2S底＝24π2＋ 18π＝6π(4π＋3)．
其内部有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？
[自主解答]
如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图．
(1)设所求圆柱的底面半径为 r， r H－x R 则R＝ H ，∴ r＝R－Hx， 2πR 2 ∴S 圆柱侧＝2πrx＝2πRx－ H · . x (2)∵S 圆柱侧是关于 x 的二次函数， 2πR H ∴当 x＝－ ＝ 时，S 圆柱侧有最大值， 2πR 2 2×－ H 即当圆柱的高是圆锥的高的一半时， 它的侧面积最大．
解：如图所示，设圆台的上底面周长为 c，因为 扇环的圆心角是 180° ， 故 c＝π·SA＝2π×10， 所以 SA＝20(cm)， 同理可得 SB＝40(cm)， 所以 AB＝SB－SA＝20(cm)， 所以 S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下
2 ＝π(r1＋r2)· AB＋πr2＋πr2 1
[读教材·填要点] 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体 圆柱 圆锥 侧面展开图的形状 矩形 扇形 扇环 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝ πrl
圆台
S圆台侧＝ π(r1＋r2)l
其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆 台的上，下底面半径．
2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 几何体 直棱柱 正棱锥 正棱台 S直棱柱侧＝ S正棱锥侧＝ 侧面积公式 c· h
2 2
4π2＋9(cm)． 4π2＋9 cm.
2 故蚂蚁爬的最短路程为 3
面，它是一个上底、下底分别为8 cm和18
cm，腰长为13 cm的等腰梯形，由点A向BC
作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线， 设垂足为F，易知BE＝CF.
∵BE＋EF＋FC＝2BF－AD＝BC， BC＋AD 18＋8 ∴BF＝ ＝ ＝13. 2 2 ∴BE＝BF－AD＝13－8＝5. 又 AB＝13，∴AE＝12. 1 ∴S 四边形 ABCD＝ (AD＋BC)· AE 2 1 ＝ (18＋8)× 12＝156(cm2)． 2 故其侧面积为 156× 5＝780(cm2)．
3．棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？
提示：不一定．由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面
展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱 柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行 四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的 乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧
棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与
[答案] (1)C
(2)C
[悟一法]
1．求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的 侧面积和(上、下)底面积之和．
2．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分
成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表 面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．
[通一类] 1．圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它 的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的 表面积是多少？
(2)如图所示，PB 为圆锥的母线，O1，O2 分别为截面 PO1 PA O1A 1 与底面的圆心．∵O1 为 PO2 的中点，∴ ＝ ＝ ＝ ， PO2 PB O2B 2 ∴PA＝AB，O2B＝2O1A. 1 ∵S 圆锥侧＝ × O1A· 2π· PA， 2 1 S 圆台侧＝ × (O1A＋O2B)· 2π· AB， 2 S圆锥侧 O1A· PA 1 ∴ ＝ ＝ . S圆台侧 O1A＋O2B· AB 3
2．柱体、锥体、台体之间有如下关系：
那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？
提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令c′＝c，
可以得到柱体的侧面积公式，令c′＝0，可得到锥体的侧 面积公式，其关系如下所示： c＝c′ S 台侧＝1(c＋c′)h′――→S 锥侧＝1ch′. c′＝0 S 柱侧＝ch′ 2 2
1 1 ∴S△VBC＝ × VD× BC＝ × 13× 3＝ 39， 2 2 2 1 3 2 S△ABC＝ × 3) × ＝3 3， (2 2 2 ∴三棱锥 V－ABC 的表面积为 3S△VBC＋S△ABC＝3 39＋3 3＝3( 39＋ 3)．
[研一题] [例3] 已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在
1 c· h′ 2
1 S正棱台侧＝ 2(c＋c′)·h′
其中c′，c分别表示上，下底面周长，h表示高，h′
表示斜高．
[小问题·大思维] 1．一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是 否确定？ 提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相
同．表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开
方法可能不同，但其表面积唯一确定．