§ 3.3 典型信号的傅里叶级数
• 主要内容
•周期矩形脉冲信号 •周期锯齿脉冲信号 •周期三角脉冲信号 •周期半波余弦信号 •周期全波余弦信号
• 重点 周期矩形脉冲信号 • 难点 信周期矩形信号频谱与脉宽、周期的
化规律
一、周期矩形脉冲信号
(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1。
f (t)
E
T1 / 2 / 2 0 / 2 T1 / 2
t T1
解：
f
(t
)

E
u
t


2


u
t


2
,
T1 t T1
2
2
Q 偶函数 a0

E
T1
,
bn
0
an

E1
Sa

n1
2

cn
a0

E
T1
,
cn
cn 0 cn 0
Fn

Fn

1 2
cn

E 2
Sa

n
2

f
(t)
三角
2E

n1
1 n
sin

n
2

cos(n1t
)
e 指数
E

n
1 n
sin

n
2

, jn1t n 1, 3..
周期对称方波信号的幅度频谱中 1 收敛规律
Sa

n1
2

jn1t
（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱
周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为 1 , n
主要能量集中在第一个零点以内，即 0 ~ 2
称为其频带宽度B

B
2 ,
Bf

1


Cn
E
T1
n
2
0 w1 2w1 幅度谱
以1/n2的规律收敛。
五、周期全波余弦信号的傅里叶级数求解
周期全波余弦信号，是偶函数。
f (t)
解：令余弦信号为
E
f1(t) E cos(w0t)
w0

2
T0
则，全波余弦信号为：
0 T1
T1 2
T1 2
T1
t
其傅里叶级数表达式为：
f (t) f1(t) E cos(w0t)
f
• 2. 周期矩形脉冲信号脉宽、周期与其频谱 的变化规律
(t)

2E


4E

1 3
cos(2w1t)

1 15
cos(4w1t)

1 35
cos(6w1t)



2E


4E


(1)n1
n1
1 4n2

1
cos(
2nw0t
)
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度
以1/n2的规律收敛。
思考题
• 1. 典型周期信号有哪些？
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)

E


E 2
cos(w1t)

4
3
cos(2w1t
)

4 15
cos(4w1t)


E


2E

n1
1
n
(n2 1) cos( 2
) cos(nw1t)
w1

2
T1
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度
f (t)
E 2
T1 T1 / 4
0
E
2
T1 / 4
T1
t
解 ： Q 偶函数且 a0 0，bn 0
奇谐函数
an

ESa

n
2



2E
n
,
n 1,3,5...
c0
0，cn
an

ESa

n
2

,
n 1,3,5...
n

0,
,
n1
1 n2
sin
2 ( n
2
) cos(nw1t)
此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度
以1/n2的规律收敛。
四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解
周期半波余弦信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
T1 0
T1
T1
2
2
T1
t 可求出傅里叶级数的系数a0,an,
t
可求出傅里叶级数的系数bn,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)

E

sin(
w1t )

1 2
sin(
2w1t )

1 3
sin(
3w1t )




E


(1)n1
n1
1 n
sin(
nw1t
)
此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解

E1
Sa

n1
2

n

0,
,
cn 0 cn 0
Fn

F n

1 2
an

E
T1
Sa

n1
2

f
(t)
三角
E
T1

E1
n1
Sa

n1
2

cos(n1t
)
e 指数
E
T1
n
an
n
幅度谱 an
2w1 3w1
0 w1
4w51 w1
w
相位 n 谱
0 w1 2w1 3w1 4w1 5w1
w
0 w1 3w1 5w1 7w1 w
二、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解
周期锯齿脉冲信号，是奇函数。 f (t)
E 2
解： 它是奇函数
T1 2
T1 0 2 E 2
an 0
4
nw1 w
0
2位谱合并 Cn
实数频谱：
c0
2 4


0 w12w1
w
复数频谱：
Fn
E T1
2
2 4


0 w1 2w1
w
（3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况， 对称方波信号有两个特点： a.是正负交替的信号，其直流分量a0等于零。 b.它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2
周期三角脉冲信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
T1 0
T1
2
2
t
可求出傅里叶级数的系数a0,an,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)

E 2

4E
2
cos(w1t)

1 9
cos(3w1t)

1 25
cos(5w1t)



E 2

4E
2