周期信号都可用正弦 函数级数表示” • 1829年狄里赫利第 一个给出收敛条件 • 拉格朗日反对发表 • 1822年首次发表 “热的分析理论”
4
傅里叶的两个最主要的贡献——
• “周期信号都可表示为成谐波关系的 正弦信号的加权和”——傅里叶的第 一个主要论点
• “非周期信号都可用正弦信号的加权 积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
5
§3.2 LTI系统对复指数信号的响应 The Response of LTI Systems to
Complex Exponentials
一个LTI系统对复指数信号的响应也是 同样一个复指数信号，不同的只是在幅度 上的变化，即：
连续时间信号：est H sest 离散时间信号：zn H zzn
第三章 周期信号的傅里叶级数表示
FOURIER SERIES REPRESENTATION OF
PERIODIC SIGNALS
主要内容： Ⅰ.周期信号的频域分析 Ⅱ.傅里叶级数的性质 Ⅲ.LTI系统的频域分析
1
§3.0 引言 Introduction
时域分析方法的基础 ： 1) 信号在时域的分解 2) LTI系统满足线性、时不变性
x t
ak e jk0t
a e jk (2 /T )t k
k
k
2 它也是以 ? 0 为周期
该级数就是傅里叶级数，这表明用傅里叶级数 可以表示连续时间周期信号。即: 连续时间周 期信号可以分解成无数多个谐波分量。
16
图形见下页
17
18
二 频谱的概念
2
2
2
2
cos4t 3 cos7t 3
11
12

同理： x n ak zk n k 则： yn ak H zk zk n k
13
• 综上：对于连续时间和离散时间来说，如
果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的
线性组合，那么系统的输出也能够表示成
2
ak

1 4
Sa k
4

ak

1 8
Sa k
8

3）谱线随参数变化的结论：
ak

2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1

T1 不变 T0
T1 T0

谱线间隔
0

2
T0
变小
幅度下降 2T1
T0
频谱包络形状不变，0点频率不变
0t
2
5 limSa t 0 t
sin t dt t
1. 矩形脉冲频谱分析
ak

2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2
T0
T1


谱线为离散的（谐波性），在


k0

k
2
T0
时取值，
脉冲周期越大，谱线间隔 0 越小，越密；
8
复指数函数 est 、z n 是一切LTI系统的
特征函数。同时:

H s htestdt t

H z hnzn n
分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征 值。只有复指数函数才能成为一切LTI系统 的特征函数。
例题3.1
9
例3.1 已知系统的输入输出关系为 yt xt 3，求：
T
。这种频谱常称为离散频谱。
该系统的特征函数，且特征值为1。
解：
h(t) (t T ) ， x(t) x(t T ) 。
如果 x(t) 是系统的特征函数，且特征值为 1，则应有：
y(t) x(t)*h(t) x(t T ) x(t) 1

满足这一要求的冲激序列为 x(t) (t kT ) 。 k
2 T0
T1

1）设矩形脉冲的高度不变，脉冲宽度 2T1 不变，周期 T0 增
大时，具体看频谱如何变化？
T1 1 , T0 4
ak

2T1 T0
Sa k
2
T0
T1


1 2
Sa k

2

k k 2 为第一个零点，对应
2

k0
2 T0
T1


1 8
Sa k
8

k k 8 为第一个零点，对应 8
k0 80 ,0 2 T0
ak

2T1 T0
Sak0T1
2T1 T0
Sa k
2 T0
T1

ak

1 2
Sa k

2

ak
22
2
2
2
2
1 e j7t 1 H j7 e j7t 1 e e j21 j7t , 1 e j7t 1 H j7 e j7t 1 e ej21 j7t
22
2
2
2
2
由叠加原理

y2 t
1 e e j12 j4t 1 e e j12 j4t 1 e e j 21 j7t 1 e e j 21 j7t

20 ,0

2
T0
T1 1 , T0 8
ak

2T1 T0
Sa k
2
T0
T1


1 4
Sa k

4

k k 4 为第一个零点，对应4Βιβλιοθήκη k040 ,0

2
T0
T1 1 , T0 16
ak

2T1 T0
Sa k
21
~
22
23
24
——傅里叶级数的另一种三角函数形式
25
四 连续时间傅里叶级数的系数确定
26
在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可， 对积分区间的起止并无特别要求，因此可表示为：
27


x(t)
a k e jk0t
a e jk(2 T )t k
k
k
① x1t e j2t时，系统的输出 y1t ; ② x2 t cos4t 3 cos7t 3！时，系统的输出 y2 t 。
分析：复指数输入为LTI系统的特征函数，根据 yt H sest
只需求出系统的特征值 H s,即可求出①的输出。
解：① x1t e j2t s j2
Sa K

2
T0
T1


Sa

K0T1


sin K0T K0T
为抽样函数
抽样函数
抽样函数的性质:
1 Sa t Sa t
2 lim Sa t 1 t 0
3 Sa t 0,
t n ,
n 1, 2, 3
4
sin t dt ,
在傅里叶级数中，各个信号分量（谐波 分量） 间的区别也仅仅是幅度（可以是复数） 和频率不同。因此，可以用一根线段来表示 某个分量的幅度，线段的位置表示相应的频 率。
即：
代表
一根线段
某个分量的幅度
线段的位置 代表 相应的频率
19
20
因此，当把周期信号表示成傅里叶级数时，
x t ake jk0t k
k0 40 , 0 2 T0
T1 1 T0 16
ak

2T1 T0
Sa k
2
T0
T1


1 8
Sa k

8

k k 8 为第一个零点，对应 8
k0 80 ,0 2 T0
ak

1 2
Sa k
ak

1 T
x(t)e jk0tdt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )tdt
T
28
29
解：方法一：直接利用公式进行求解
ak

1 T
x(t)e jk0t dt 1
T
T
x(t)e jk(2 T )t dt
T
方法二：


x(t)
a k e jk0t
T0 不变 T1
T1 T0
主瓣内包含的谐波分量数增加
谱线间隔不变 幅度下降 2T1
T0
0

2
T0
频谱的包络改变，0点频率变化
主瓣内包含的谐波数量也增加
周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性
(1)离散性——谱线是离散的而不是连续的，谱线之间
的间隔为
0

2
7
补充例题：
例:对单位冲激响应 h(t) (t) 的LTI系统，其特征函数，
相应的特征值是什么?
解： h(t) (t) 的 LTI 系统是恒等系统，所以任何函 数都是它的特征函数，其特征值为 1。
例:如果一个LTI系统的单位冲激响应为，h(t) (t T)
找出一个信号，该信号不具有 est 的形式，但却是
2
T0
T1


1 2
Sa k

2

k k 2 为第一个零点，对应 2
k0 20 ,0 2 T0
T1