频谱包含直流分量及0的基波和各次谐波分量; 1 或者说直流分量及0的偶次谐波分量.谐波幅度以 2 n 规律收敛.
例1：试将图示周期矩形脉冲信号 展开为(1)三角型和(2)指数型傅里 叶级数。

f (t )
A

T



2 2
T
t
解： ) f (t )是偶函数，故只含有常 数项和余弦项。 (1
bn 0
4 an T1

T1
T1 2
2

2
T1 2
T1
t
2 T1 2 E 2 2 a0 f (t )dt Edt T1 0 T1 0 T1

T1 2 0
4 f (t ) cos n1tdt T1


2 0
n1 2 E E cos n1tdt Sa( ) cn T1 2
周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa( 2 ) cos n1t n 1

周期矩形脉冲信号的三角形式傅里叶级数为
E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa( 2 ) cos n1t n 1

1 1 E n1 Fn (an jbn ) an Sa ( ) 2 2 T1 2

则
2 2 1 2 1 ( ) T1 4 4 1 T1 n
2 E T1 E T1
cn
2
121
4

因此，第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有3根谱线。
一般情况： 若

则
第一个零值点之内或两个相邻的零值点之间有n-1根谱线。
3、频谱结构与波形参数的关系（T1, ）
E
三、周期三角脉冲信号
f (t )
E
t
T1
T1 2
0
T1 2
T1
E 4E 1 1 f (t ) 2 [cos(1t ) 2 cos(31t ) 2 cos(51t ) ...] 2 3 5 E 4E 1 2 n 2 2 sin ( ) cos( n1t ) 2 n1 n 2
sin x 令 Sa( x) x
f (t )
n
称为抽样函数或取样函数
A T
F e
n
jn0t
n


n0 jn0t Sa( )e 2
3.4 傅里叶变换
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的
加权和”——傅里叶的第一个主要论点
n )
f (1) cos n1tdtjn t t t T
T1
2 余弦分量幅度 : anjn t f (t ) Fn e 1 T1
n

t0
Fn

0
1
t0
f (t )e
1
dt
双边幅度频谱（Fn ~ n1 ) 双边频谱 单边幅度频谱（c ~ n ) 单边频谱 其中n 1,2,.... 双边相位频谱（ n ~ n1 ) 单边相位频谱（ ~ n )
Fs
2sin T1
X j | k0
2T1
of

k0
3.4 傅里叶变换
2 T , 0 0 T
1
x(t)
非周期信号
T1
T1
t
Fs
2sin T1
X ( j)
2T1

连续时间的

<一般规律>
周期信号
3.4 傅里叶变换
2 T
X ( j ) k0
f(t)的指数形式的傅里叶级数为
E f (t ) T1
n1 jn1t Sa ( 2 )e n

2、频谱
2 E T1 E T1 2 E T1 E T1
E c0 T1
2 E n1 2E n1 cn Sa ( ) sin ( ) Fn E Sa ( n1 ) T1 2 n 2 T1 2
E T1
cn
2
Fn
1 21
2 4
121
cn
4

E T1

Fn
2
121 2
n
4

4 2
1 21
n
4


2 4

2 4


E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1

3.4 傅里叶变换
周期信号
x(t )
此信号可以看成是由一 个非周期信号延拓而成
0
2T
2 T
T
T
非周期信号
T1
T1 2
2

2
T1 2
T1
t
cn
2
E T1
Fn
1 21
2 4
121
4


离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期 越大，谱线越密。
各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比， 与周期成反比。
E f (t )
频谱分析表明
2 E T1 E T1
复习
上次课主要介绍了周期信号的傅立叶级数分 析,介绍了三角形式和指数形式的傅立叶级 数表示方法,两种频谱的结构特点等了分析, 再对偶函数,奇函数,奇谐函数的级数特点作 为分析.最后介绍了吉布斯现象.
复习
2 f (t ) a0 (an cos n1t bn sin n1t ), 1 T1 n 1

1、周期信号两种三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) d 0 d n sin( n 2、指数形式的傅立叶级数 1t
t0
直流分量 : a0
n 1 n 1
f (t ) c0 cn cos( n1t n ) 1 t T
T1

0
1
f (t )dt
t 0 T1
率分量，谐波以幅
度1/n2规律收敛
五、周期全波余弦信号
f (t ) E | cos(0t ) |
f (t ) 2E
T
E
f (t )
0
T 2
t

2E

4E
3
cos( t ) cos( 2 t ) cos( 4 0t ) ...] 0 0 15 35
4E
4
4E 1 n 1 ( 1) cos( 2 n 0 t ) 2 n 1 ( 4 n 1) 其中 0 2 T0

n 1
f (t )
A
(2) 指数型傅立叶级数
1 Fn T


T

T 2
T 2
f (t )e

2
jn0t
1 dt T


2


2 2
T
t


2
Ae
jn0t
dt
A e jn0t T jn0


2
n0 n0 sin( ) sin( ) 2A A 2 2 n0 T n0 T 2
吉布斯现象MATLAB程序集\LT3_1.m
本次课的主要内容
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号 周期三角脉冲信号
3.4 傅里叶变换
频谱密度函数的概念 傅立叶变换对 傅立叶存在的条件
3.3 典型周期信号的傅里叶级数
一、周期矩形脉冲信号
f (t )


T1 2T1
t
T1
T 1 4
T1 4
t
T1
E/2
E 2 E n1 周期矩形脉冲信号: f (t ) Sa ( 2 ) cosn1t T1 T1 n 1 令 a0 0, T1 2 ，则有 n f (t ) E Sa ( ) cos n1t 2 n 1 2E 1 1 (cos1t cos31t cos51t ) 3 5
1 a0 T

T 2 T 2
T 2 T 2

2 2 A f (t )dt Adt T 0 T

2 an T


4 2 f (t ) cosn0tdt A cosn0tdt T 0


4A n0 2A n0 sin( ) sin( ) n0T 2 n 2 A 2A n0 f (t ) sin( ) cosn0t T n 2
E f (t )

T1
T1 2 2
2
T1 2
T1
t
T1 T1 一个周期[ , ] 内 2 2 E ( t 2 ) f (t ) E[u ( ) u (t )] 2 2 0 (t ) 2
E f (t )
1、傅立叶级数
非周期信号
1 x(t ) Txk e jk0t 0 2 k T jk0t 0 0 Txk x(t )e dt T
X ( jk0 ) X ( j ) k 0
1 x(t ) X ( j )e jt d 2 X ( j ) x(t )e jt d
1 1 f (t ) (cos 1t cos 31t cos 51t ) 3 5
cn
E
2E
31
1
E
71 51