C e dt T0 n0
j(nk )0t
n =
由{en (t)}的正交性得：
T0
0
e
dt j(nk )0t
T0
[n k]
T0 n=k 0 n不等于k
Ck
1 T
T
2 T
fT (t)e jk 0t dt
2
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
bn
2 T
T
2 T
2
f (t)sin n0tdt
(n = 1,2 )
纯余弦形式傅立叶级数
其中
f（t）
a0 2
n1
An
co（ s n0t
）
n
An an2 bn2
n
arctg
bn an
a0 2
称为信号的直流分量，
An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。
例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展 开式。
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
其中
Cn
1 T
T
2 T
fT (t)e jn0t dt
（傅立叶系数）
2
n 1 两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量
n 2 的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量
若 f (t)为实函数，则有 Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
Cne jn0t
n
n1
C0
Cne jn0t Cne jn0t
Cne jn0t和Cne jn0t共轭
n1
C0 2
Re( Cne jn0t )
n 1
令
Cn
Cn
1 T
T / 2 f (t)ejn0tdt 1 ( 0 tejn0tdt
T / 2
2 1
1te jn0tdt)
0
1 (te jn0t
2 jn0
0 1
01 e jn0t dt
an
jbn 2
由于C0是实的，所以b0=0，故
C0
a0 2
由此可以推出：
三角形式傅立叶级数
连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：
f
(t)
a0 2
n1
an
cos n0t
bn
n1
sin
n0t
傅里叶系数
其中：a0
2 T
T
2 T
2
f (t)dt
an
2 T
T
2 T
f (t) cosn0tdt
2
(n = 1,2 )
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
其中 （傅立叶系数） Cn ?
e jk0t f (t)
C e e jn0t jk0t n
n =
T0 e jk0t f (t)dt T0
0
0
Cn e e dt jn0t jk0t
n =
T0 e jk0t f (t)dt 0
周期信号的频域分析
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合
意义： (1) 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦 分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途 径。
(2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的 响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同 时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统后， 是衰减还是增强一目了然。
连续时间周期信号的频域分析
•连续时间周期信号的傅立叶级数表示 •连续时间傅里叶级数的基本性质 •连续时间周期信号的频谱及其特点 •连续时间周期信号的功率谱
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何？
周期信号都可用正弦 函数级数表示” 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热 的分析理论”中
T n=
2
注：Sa( n0 2
)
sin( n0 2
n0
)
2
由
f (t) C0 2 Re( Cne jn0t )
n1
可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为
f (t) (A / T0 ) (2A / T0 )Sa(n0 / 2) cosn0t n1
若=T/2，则有
fT (t)
A 2
T /2
(2) 在一个周期内只有有限T /个2 不f (连t) 续dt点 ；
(3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。
注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。
2. 指数形式傅立叶级数
连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为
f (t)
傅立叶的两个最主要的贡献——
“周期信号都？可表示为成谐波关 系的正弦信号的加权和”——傅里 叶的第一个主要论点
“非周期信号都可用正弦信号的加 权积分表示” ——傅里叶的第二个主要论点
一、连续时间周期信号的傅立叶级数表示
1傅. 立周叶期级信数号收展敛开条为件傅立叶级数条件
周期信号fT(t)应满足狄里赫利 Dirichlet条件，即： (1) 绝对可积，即满足
f (t) A
-T
0
T
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，
必然存在傅里叶级数展开式。
Cn
1 T
T
2 T
2Leabharlann f (t)ejn0tdt1 T
2
Aejn0tdt
A
T
Sa( n0
2
)
2
因此，周期方波信号的指数形式傅里叶级数展开式为
f (t) Cn e jn0t
n =
A
Sa ( n0 )e jn0t
2A
(c
os0t
1 3
c
os3
0t
1 5
c
os50t
)
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在
Cn
1 T
T 2 T
f (t)e jn0t dt 1 ( 0 te jn0t dt 2 1
n N 的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量
连续时间傅里叶级数对：
综合公式 （反变换）
f (t)
Cn e jn0t
jn 2 t
Cn e T
n =
n =
C n
1 T
T
2 T
fT (t )e jn 0t dt
2
Cn 称为傅里叶系数或频谱系数
分析公式 （正变换）
3. 三角形式傅立叶级数
1te jn0t dt)
0
2
1
(te jn0t
0
0 e jn0t dt te jn0t
1
1 e jn0t dt)
2 jn0
1 1
00
1
(n
)2
(cos
n
1)
0
2
T
例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数 展开式。
f (t)
-2 1 0 2
t
解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在