第二章函数与导数第3课时函数的单调性第三章(对应学生用书(文)、(理)11~12页)1. (必修1P54测试4)已知函数y=f(x)的图象如图所示,那么该函数的单调减区间是________.答案:[-3,-1]和[1,2] 2. (必修1P 44习题2改编)下列函数中,在区间(0,2)上是单调增函数的是________.(填序号)① y =1-3x ;② y=-1x;③ y=x 2+1;④ y=|x +1|.答案:②③④3. (必修1P 44习题4改编)函数y =f(x)是定义在[-2,2]上的单调减函数,且f(a +1)<f(2a),则实数a 的取值范围是________.答案:[-1,1)解析:由条件⎩⎪⎨⎪⎧-2≤a+1≤2,-2≤2a≤2,a +1>2a ,解得-1≤a<1.4. (必修1P 44习题3改编)函数y =(x -3)|x|的单调递减区间是________.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32 解析:y =(x -3)|x|=⎩⎪⎨⎪⎧-x (x -3),x<0,x (x -3),x ≥0,画图可知单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32.5. (必修1P 54测试6改编)已知函数f(x)=mx 2+x +m +2在(-∞,2)上是增函数,则实数m 的取值范围是________.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,0 解析:当m =0时,f(x)=x +2,符合;当m≠0时,必须⎩⎪⎨⎪⎧m<0,-12m ≥2,解得-14≤m<0.综上,实数m 的取值范围是-14≤m ≤0.1. 增函数和减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数.(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数.(如图(2)所示)2. 单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间).3. 判断函数单调性的方法(1) 定义法:利用定义严格判断.(2) 利用函数的运算性质.如若f(x)、g(x)为增函数,则:① f(x)+g(x)为增函数;② 1f(x)为减函数(f(x)>0);③ f(x)为增函数(f(x)≥0);④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0);⑤ -f(x)为减函数.(3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”,即两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数,若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.(4) 图象法奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.[备课札记]题型1 函数单调性的判断例1 判断函数f(x)=e x+1e x 在区间(0,+∞)上的单调性.解:(解法1)设0<x 1<x 2,则 f(x 1)-f(x 2)=⎝⎛⎭⎪⎫ex 1+1ex 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫ex 2+1ex 2=()ex 1-ex 2+ex 2-ex 1ex 1·ex 2=()ex 1-ex 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1ex 1+x 2=()ex 1-x 2-1·ex 1+x 2-1ex 1.∵ 0<x 1<x 2,∴ x 1-x 2<0,x 1+x 2>0,∴ ex 1-x 2<1,ex 1+x 2>1,ex 1>0, ∴ f(x 1)<f(x 2).∴ f(x)在(0,+∞)上是增函数. (解法2)对f(x)=e x+1e x 求导,得f′(x)=e x-1e x =1e x (e 2x -1),当x >0时,e x>0,e 2x>1, ∴ f ′(x)>0,∴ f(x)在(0,+∞)上为增函数. 备选变式(教师专享)证明函数f(x)=x1+x 2在区间[1,+∞)上是减函数.证明:设x 1、x 2∈[1,+∞),且x 1<x 2.f(x 1)-f(x 2)=x 11+x 21-x 21+x 22=x 1(1+x 22)-x 2(1+x 21)(1+x 21)(1+x 22)=(x 1-x 2)(1-x 1x 2)(1+x 21)(1+x 22). ∵ x 1、x 2∈[1,+∞),且x 1<x 2,∴ x 1-x 2<0,1-x 1x 2<0.又(1+x 21)(1+x 22)>0,∴ f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2). ∴ f(x)=x1+x 2在[1,+∞)上为减函数.题型2 已知函数的单调性求参数的值或范围 例2 已知函数f(x)=lg kx -1x -1(k∈R ,且k>0).(1) 求函数f(x)的定义域;(2) 若函数f(x)在[10,+∞)上单调递增,求k 的取值范围.解:(1) 由kx -1x -1>0,k>0,得x -1k x -1>0,当0<k<1时,得x<1或x>1k ;当k =1时,得x∈R且x ≠1;当k>1时,得x<1k或x>1.综上,当0<k<1时,函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>1k ;当k≥1时,函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x<1k 或x>1.(2) 由函数f(x)在[10,+∞)上单调递增,知10k -110-1>0,∴ k>110.又f(x)=lg kx -1x -1=lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x -1,由题意,对任意的x 1、x 2,当10≤x 1<x 2,有f(x 1)<f(x 2),即lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x 1-1<lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫k +k -1x 2-1, 得k -1x 1-1<k -1x 2-1(k -1)(1x 1-1-1x 2-1)<0. ∵ x 1<x 2,∴ 1x 1-1>1x 2-1,∴ k -1<0,即k<1.综上可知,k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫110,1. 变式训练已知函数f(x)=2x -ax,x ∈(0,1].(1) 当a =-1时,求函数y =f(x)的值域;(2) 若函数y =f(x)在x∈(0,1]上是减函数,求实数a 的取值范围. 解:(1) 当a =-1时,f(x)=2x +1x ,因为0<x≤1,所以f(x)=2x +1x≥22x ·1x =22,当且仅当x =22时,等号成立,所以函数y =f(x)的值域是[22,+∞).(2) (解法1)设0<x 1<x 2≤1,由f(x 1)-f(x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1-a x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2-a x 2=2(x 1-x 2)+⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2-a x 1=(x 1-x 2)(2x 1x 2+a )x 1x 2,因为函数y =f(x)在x∈(0,1]上是减函数,所以f(x 1)-f(x 2)>0恒成立,所以2x 1x 2+a<0,即a<-2x 1x 2在x∈(0,1]上恒成立, 所以a≤-2,即实数a 的取值范围是(-∞,-2]. (解法2)由f(x)=2x -a x ,知f′(x)=2+ax 2,因为函数y =f(x)在x∈(0,1]上是减函数, 所以f ′(x)=2+ax 2≤0在x∈(0,1]上恒成立,即a≤-2x 2在x∈(0,1]上恒成立,所以a≤-2,即实数a 的取值范围是(-∞,-2]. 题型3 函数的单调性与最值例3 已知函数f(x)=x 2+2x +ax ,x ∈[1,+∞).(1) 当a =12时,求f(x)的最小值;(2) 若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1) 当a =12时,f(x)=x +12x +2.设x 1>x 2≥1,则f(x 1)-f(x 2)=(x 1-x 2)+⎝⎛⎭⎪⎫12x 1-12x 2=(x 1-x 2)·2x 1x 2-12x 1x 2.∵ x 1>x 2≥1, ∴ f(x 1)>f(x 2),∴ f(x)在[1,+∞)上为增函数. ∴ f (x)≥f(1)=72,即f(x)的最小值为72.(2) ∵ f(x)>0在x∈[1,+∞)上恒成立,即x 2+2x +a >0在[1,+∞)上恒成立,∴ a >[-(x 2+2x)]max .∵ t(x)=-(x 2+2x)在[1,+∞)上为减函数, ∴ t(x)max =t(1)=-3, ∴ a >-3. 备选变式(教师专享)已知a∈R 且a≠1,求函数f(x)=ax +1x +1在[1,4]上的最值.解:由f(x)=ax +1x +1=a +1-ax +1.若1-a>0,即a<1时,f(x)在[1,4]上为减函数, ∴ f max (x)=f(1)=a +12,f min (x)=f(4)=4a +15;若1-a<0,即a>1时,f(x)在[1,4]上为增函数, ∴ f max (x)=f(4)=4a +15,f min (x)=f(1)=a +12.1. (2013·南京期初)已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧e x-2k ,x ≤0(1-k )x ,x>0是R 上的增函数,则实数k 的取值范围是________.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,1 解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0-2k≤0,1-k>0,解得12≤k<1.2. 若函数f(x)=a x(a>0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g(x)=(1-4m)x 在[0,+∞)上是增函数,则a =________.答案:14解析:若a>1,有a 2=4,a -1=m ,所以a =2,m =12,此时g(x)=-x 是[0,+∞)上的减函数,不符合;当0<a<1,有a -1=4,a 2=m ,所以a =14,m =116,此时g(x)=3x 4,符合.3. (2013·安徽)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax -1)x|在区间是(0,+∞)内单调递增”的________条件.答案:充要解析:① 当a =0时,f(x)=|x|在区间(0,+∞)内单调递增;② 当a<0时,结合函数f(x)=|ax 2-x|的图象知函数在(0,+∞)内单调递增;③当a>0时,结合函数f(x)=|ax 2-x|的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合.所以“a≤0”是“函数f(x)=|(ax -1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件.4. 已知函数f(x)是定义在正实数集上的单调函数,且满足对任意x >0,都有f(f(x)-lnx)=1+e ,则f(1)=________.答案:e解析:f(x)-lnx 必为常数函数,否则存在两个不同数,其对应值均为1+e ,与单调函数矛盾.所以可设f(x)-lnx =c ,则f(x)=lnx +c.将c 代入,得f(c)=1+e ,即lnc +c =1+e.∵ y =lnx +x 是单调增函数,当c =e 时,lnc +c =1+e 成立, ∴ f(x)=lnx +e.则f(1)=e.1. 给定函数:①y=x 12,②y =log 12(x +1),③y =|x -1|,④y =2x +1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是____________.(填序号)答案:②③解析:①是幂函数,其在(0,+∞)上是增函数,不符合;②中的函数是由函数y =log 12x 向左平移1个单位而得到的,因为原函数在(0,+∞)上是减函数,故符合;③中的函数图象是由函数y =x -1的图象保留x 轴上方,下方图象翻折到x 轴上方而得到的,故由其图象可知正确;④中函数显然是增函数,故不符合.2. 设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a x 在R 上是减函数 ”是“函数g(x)=(2-a)x 3在R 上是增函数”的__________条件.答案:充分不必要解析:函数f(x)=a x 在R 上是减函数等价于0<a<1,函数g(x)=(2-a)x 3在R 上是增函数等价于0<a<1或1<a<2,所以“函数f(x)=a x在R 上是减函数 ”,是“函数g(x)=(2-a)x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件.3. 函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧ax 2+1,x ≥0,(a 2-1)e ax,x <0在(-∞,+∞)上单调,则a 的取值范围是________.答案:(-∞,-2]∪(1,2]解析:若a>0,则f(x)=ax 2+1在[0,+∞)上单调增,∴ f(x)=(a 2-1)e ax在(-∞,0)上单调增,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1>0,a 2-1≤1,∴ 1<a ≤ 2.同理,当a<0时,可求得a≤-2,故a∈(-∞,-2]∪(1,2].4. 是否存在实数a ,使函数f(x)=log a (ax 2-x)在区间[2,4]上是增函数?如果存在,说明a 可取哪些值;如果不存在,请说明理由.解:显然a>0且a≠1.当a>1时,则t(x)=ax 2-x 的对称轴是x =12a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,只需t(2)=4a -2>0,即a>12,所以a >1均成立; 当0<a <1时,则t(x)=ax 2-x 的对称轴是x =12a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞,需要⎩⎪⎨⎪⎧12a≥4,t (4)=16a -4>0无解. 所以,存在实数a >1,满足条件.1. 求函数的单调区间,首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是定义域的子集,常用方法有:定义法、图象法、导数法、复合函数法等.2. 函数单调性的应用(1) 比较函数值的大小;(2) 解不等式;(3) 求函数的值域或最值等.注意利用定义都是充要性命题,即若函数f(x)在区间D上递增(减)且f(x1)<f(x2)x1<x2(x1>x2)(x1、x2∈D).请使用课时训练(B)第3课时(见活页).[备课札记]。