二次函数的概念—知识讲解（提高）
【学习目标】
1.理解函数的定义、函数值、自变量、因变量等基本概念；
2.了解表示函数的三种方法——解析法、列表法和图像法；
3.会根据实际问题列出函数的关系式，并写出自变量的取值范围；
4.理解二次函数的概念，能够表示简单变量之间的二次函数关系.
【要点梳理】
要点一、函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x，y，对于自变量x在某一范围内的每一个确定值，y都有惟一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数.
对于自变量x在可以取值范围内的一个确定的值a，函数y有惟一确定的对应值，这个对应值叫做当x=a时函数的值，简称函数值.
要点诠释：
对于函数的概念，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有惟一确定的值与它相对应；
（3）函数自变量的取值范围，应要使函数表达式有意义，在解决实际问题时，还必须考虑使实际问题有意义.
要点二、函数的三种表示方法
表示函数的方法，常见的有以下三种：
（1）解析法：用来表示函数关系的数学式子叫做函数的表达式，（或解析式），用数学式子表示函数的方法称为解析法.
（2）列表法：用一个表格表达函数关系的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系的方法.
要点诠释：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
对照表如下：
表示方法全面性准确性直观性形象性
列表法×∨∨×
解析式法∨∨××
图象法××∨∨
要点三、二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
若b=0，则y=ax2+c；若c=0，则y=ax2+bx；若b=c=0，则y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
在二次函数的一般式y=ax2+bx+c（a≠0）中，ax2叫函数的二次项，bx叫函数的一次项，c叫常数
项；a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项.
要点诠释：
（1）如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．
（2）判断系数时，首先要将二次函数化成一般式，再对照定义写出，特别要注意的是系数要包含其前面的符号.
【典型例题】
类型一、函数的相关概念
1、下列说法正确的是（）
Ａ.变量满足，则是的函数；
Ｂ.变量满足，则是的函数；
Ｃ.变量满足，则是的函数；
Ｄ.变量满足，则是的函数.
【思路点拨】严格依照函数的概念进行判断.
【答案】A；
【解析】B、C、D三个选项，对于一个确定的的值，都有两个值和它对应，不满足单值对应的条件，
所以不是函数.
【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是惟一确定的.
举一反三：
【变式】如图的四个图象中，不表示某一函数图象的是（ ）
【答案】B.
2、求函数的自变量的取值范围.
【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式组即可.
【答案与解析】 解：要使函数
有意义，则需要
即或
解方程组得，自变量取值是或.
【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的x 的值.
3、如图所示，用一段长30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度为15米)的矩形菜园ABCD ，设AB
的长为x 米，则菜园的面积y(单位：米2
)与x(单位：米)的函数关系式为_____ ___(写自变量的取值范围)．
【思路点拨】根据矩形的周长和一边AB 的长表示出另一临边AD 的长，再根据矩形的面积公式来求解. 【答案】2
1152
y x x =-
+（0＜x ≤15） 【解析】解：∵矩形的周长为30米，边AB 长x 米，∴AD=
302
x
-米，
∴矩形的面积y=x ⨯
302x -=2
1152
x x -+（0＜x ≤15） 【总结升华】考虑到实际情况，对于自变量x 来说，一定不能超过墙的长度.
举一反三：
【变式】圆的半径是1cm ，假设半径增加xcm ，圆的面积增加ycm 2，则y 与x 的关系式为：_____ ___.
【答案】2
2y x x ππ=+
类型二、函数的三种表示方法
4、问题情境
已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 数学模型
设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为2()(0)a y x x x
=+＞． 探索研究
⑴我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数1
(0)y x x x
=+＞的图象性质． ①填写下表，画出函数的图象：
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y=ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数1
y x x
=+
(x ＞0)的最小值． 解决问题
⑵用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【思路点拨】本题告诉我们一种研究问题的方法，从最基本的函数研究起，慢慢到较复杂的函数.所以一定要跟着题目教给我们的思路走.
解⑴①y 的值依次是：174，103，52，2，52，103，174
． 函数1
y x x
=+
(0)x >的图象如图．
②本题答案不唯一，下列解法供参考．
当01x <<时，y 随x 增大而减小；当1x >时,y 随x 增大而增大；当1x =时函数1
y x x
=+(0)x >的最小值为2． ③1y x x
=+
=2
21()(
)x x
+ =2
2111()(
)22x x x x x x
+-⋅+⋅ =2
1()2x x
-
+ 当1x x -
=0，即1x =时，函数1
y x x
=+(0)x >的最小值为2． ⑵当该矩形的长为a 时，它的周长最小，最小值为4a ．
【总结升华】本题属于阅读理解型问题，要好好阅读材料，根据题目的提示一步步往下进行.综合考察
了列表法、图形法和解析法三种函数的表示方法. 类型三、二次函数的概念
5、（武威校级月考）一个二次函数234
(1)21k k y k x
x -+=-+-.
（1）求k 的值.
（2）求当x=3时，y 的值？
【思路点拨】关键要考虑两点：一是自变量的最高次数为2，二是最高次项系数不能为0.
解（1）依题意有2342
10
k k k ⎧-+=⎨-⎩≠ ，
解之得，k=2.
(2)把k=2代入函数解析式中得： y=x 2
+2x-1, 当x=3时，y=14.
【总结升华】此题考察二次函数的定义和函数值. 举一反三：
【变式1】函数||1
(3)31m y m x
x -=-+-是二次函数，则m 的值是( )．
A ．3
B ．-3
C ．±2
D ．±3 【答案】B.
【变式2】（合肥校级月考）已知函数2
(1)2m m
y m x x m +=-+-是二次函数，求m 的值，并指出二次项
系数，一次项系数及常数项. 【答案与解析】
解：由题意得22
10
m m m ⎧+=⎨-⎩≠
∴21
1
m m m =-=⎧⎨
⎩或≠，
∴m = -2.
∴函数为y=-3x 2
+2x+2
∴二次项系数为-3，一次项系数为2，常数项为2.。