二次函数的图像和性质----基础概念
1.二次函数的定义：形如的函数叫二次函数。

限制条件：（1）自变量的最高次数是；（2）二次项系数。

2．二次函数的解析式（表达式）——三种形式，重点是前两种。

（1）一般式：；
（2）顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0），此时二次函数的顶点坐标为（，），对称轴是。

注意：顶点形式的最大优点是直接从解析式看出顶点坐标和对称轴，比较方便。

离开它用一般形式也可以。

※（3）交点式（两点式）：设x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，则y=a（x-x1）（x-x2）
此时抛物线的对称轴为直线x=
22
1x
x+。

注意：（1）当顶点在X轴上（即抛物线与X轴只有一个交点（0，x1））时，函数表达式为。

这个交点是抛物线的什么点？
（2）是不是任意一个二次函数都可以写成交点形式？在什么条件下才有交点式？
（3）利用这种形式只是解决相关问题要简便一些，直接用一般形式也可以。

实际上利用一般形式和顶点坐标公式可以解决二次函数的多数问题。

▲三种二次函数的解析式的联系：
针对一般形式而言，顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）中，h= ；k=。

当Δ=b2-4ac 时，才有两根式。

3、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质 ----抛物线的特征---待定系数a,b,c的作用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条线，它是一个对称图形，抛物线与对称轴的交点叫抛物线的点。

不过这个结论成立的条件是自变量的取值范围是。

（1）形状----开口大小。

由决定，越大，开口越。

（2）开口方向：由决定。

当a>0时，函数开口方向向；当a<0时，函数开口方向向；（3）对称轴：直线x= ；
注意：一次函数的图象是直线，但直线的解析式不一定是一次函数。

例如与坐标轴平行（垂直）
的直线的解析式是X=K，或Y=K，它们为什么不是一次函数呢？
▲（4）顶点坐标公式：（，）；
利用顶点坐标公式的注意事项：当求得顶点横坐标后，可以用纵坐标公式，也可以不用纵坐标
公式，而直接将横坐标代入哪里求得纵坐标。

例如：Y=2x2-4X+1
当X=
4
2
-
=-2时，Y= ，顶点坐标为（，）
可见，必须记住顶点横坐标公式。

顶点纵坐标公式记不住也没有关系。

（5）增减性：分对称轴左右两侧描述。

当a>0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而；在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而；当a<0时，在对称轴左侧，即x 时，y随着x的增大而；
在对称轴右侧，即x 时，y随着x的增大而；
▲（6）最值：特别注意顶点横坐标是否在自变量的取值范围内
①若顶点横坐标在自变量的取值范围内
当a>0时，函数有最值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最值，
并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。

②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。

（7）与坐标轴的交点
①与X轴的交点
求法：解方程，其求根公式是。

个数：当Δ=b 2
-4ac 0时，抛物线与X 轴有两个不同的交点；
Δ=b 2
-4ac 0时，抛物线与X 轴没有交点； Δ=b 2-4ac 0时；抛物线与X 轴只有一个交点， 即顶点在 轴上。

②与Y 轴的交点：（ ， ）
（8）函数值的正、负性：如图1：当x ＜x 1或x ＞x 2时，y 0； 当x 1＜x ＜x 2时，y 0；当x=x 1或x=x 2时，y 0。

如图2：当x 1＜x ＜x 2时，y 0； 当x ＜x 1或x ＞x 2时，y 0； 当x=x 1或x=x 2时，y 0.
※(9)二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）与x 轴的交点坐标为A （x 1，0），B （x 2，0），则二次函数图象与X 轴的交点之间的距离AB=
()22121x x x x -=
-=()212214x x x x -+
(10)二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中a 、b 、c 及其代数式的符号判别：
①a 的符号判别---由抛物线的开口方向确定：当开口向上时，a 0；当开口向下时，a 0； ②c 的符号判别---由抛物线的与Y 轴的交点来确定：若交点在X 轴的上方，则c 0；若交点在X 轴的下方，则C 0；
③b 的符号由对称轴来确定：对称轴在Y 轴的左侧，由a
b
2- 0知a 、b 同号；若对称轴在
Y 轴的右侧，由a
b
2-
0知a 、b 异号。

（11）缺项二次函数的特征
①抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的顶点在Y 轴上时抛物线关于 轴对称， =0；解析式为 。

②抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过原点，则 =0；解析式为 。

③抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）顶点在原点，则b= c= ，解析式
为 。

（12）抛物线的平移和轴对称
无论b ，c 值为多少，抛物线y=ax 2+bx+c 与抛物线y=ax 2的形状（开口方向和开口大小）是相同的，只是位置不同，可以通过平移得到。

①抛物线y=ax 2+bx+C 上（下）平移n （n ＞0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的 不变，把 转换为 ；
②抛物线y=ax 2+bx+C 左（右）平移n （n ＞0）个单位后的解析式求法：将原解析式中的 不变，把 转换为 。

③物线y=ax 2+bx+c 关于X 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理）
④物线y=ax 2+bx+c 关于Y 轴对称的抛物线解析式是 （方法是将原解析式中的 不变，把 转换为 ，再整理） 小结：二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）待定系数a,b,c 的作用 （1）a---a 的符号决定 ；a 的绝对值决定 。

（2）c----c 决定抛物线与 轴交点的位置。

（3）b-----b 单独不能起什么作用。

根据a
b
2-
，a ，b 共同决定抛物线对称轴的位置； Δ=b 2
-4ac 决定 ：
4、二次函数的解析式的求法----待定常数法 三种基本情况
（1）已知抛物线上任意三点的坐标，利用 式。

（2）已知抛物线的顶点和任意一点的坐标，利用顶点式简便些；
（3）已知抛物线与X轴的交点和任意一点的坐标，利用交点式简便些。

注意；当知道对称轴或顶点坐标（可能是一个坐标）时，通常将一般式与顶点坐标公式结合起来用。

实际上只用一般式，不用其他两种形式就够了。

5.二次函数图象的画法
画二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一般步骤
（1）利用顶点坐标公式求得顶点坐标；
（2）利用抛物线的性列表；
（3）先画对称轴，再对称描点连线。

实际上，我们解题时只需画抛物线的草图。

画抛物线草图一般要体现哪几个要素呢？
开口方向，顶点坐标，与坐标轴的交点。

6.二次函数与一元二次方程的关系
（1）从形式来看，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y= 时，得一元二次方程ax2+bx+c=0。

从这个角度来看一元二次方程只是二次函数的特殊状态；
（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与X轴的交点情况正好由一元二次方程ax2+bx+c=0的决定；
（3）一般地，一元二次方程ax2+bx+c=K（a≠0）的根可以看成是直线y= 与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的交点坐标。

也就是说解方程组与解方程ax2+bx+c=K （a≠0）是等价的。

7．次函数的应用
二次函数的应用主要是最值问题和求某一点的坐标问题，而求二次函数的解析式是最基本的问题。

利用二次函数求最值的一般步骤：（1）引入自变量和因变量
（2）根据实际问题的数量关系列中间变量的代数式，建立函数关系式，根据中间变量的代数式的取值范围，列不等式（组），求出自变量的取值范围
（3）利用顶点坐标公式求得抛物线的顶点坐标，判断顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内。

①若顶点横坐标在自变量的取值范围内
当a>0时，函数有最值，并且当x= 时，y最小值= ；当a<0时，函数有最值，并且当x= ，y最大值= ；并且考虑在端点处是否取得最值。

②若顶点横坐标不在自变量的取值范围内，只考虑在端点处是否取得最值。